Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97640 / 101240
↖ ↑ ↗
← S 69.526834°
E 88.176270°		 ← 106.81 m → S 69.526834°
E 88.179016°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.527794°
E 88.176270°		 ← 106.80 m →
11 404 m²		 S 69.527794°
E 88.179016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744937896728516 y=0.772403717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744937896728516 × 217)
    floor (0.744937896728516 × 131072)
    floor (97640.5)     		tx = 97640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772403717041016 × 217)
    floor (0.772403717041016 × 131072)
    floor (101240.5)     		ty = 101240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97640 / 101240 ti = "17/97640/101240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97640/101240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97640 ÷ 217
    97640 ÷ 131072     		x = 0.74493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101240 ÷ 217
    101240 ÷ 131072     		y = 0.77239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74493408203125 × 2 - 1) × π
    0.4898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.53896623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.5447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71153906403448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53896623} λ = 1.53896623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71153906403448))-π/2
    2×atan(0.180587642680823)-π/2
    2×0.178662080439612-π/2
    0.357324160879224-1.57079632675     		φ = -1.21347217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53896623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.176270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21347217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.526834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97640 KachelY 101240 1.53896623 -1.21347217 88.176270 -69.526834
    Oben rechts KachelX + 1 97641 KachelY 101240 1.53901416 -1.21347217 88.179016 -69.526834
    Unten links KachelX 97640 KachelY + 1 101241 1.53896623 -1.21348893 88.176270 -69.527794
    Unten rechts KachelX + 1 97641 KachelY + 1 101241 1.53901416 -1.21348893 88.179016 -69.527794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21347217--1.21348893) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21347217--1.21348893) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53896623-1.53901416) × cos(-1.21347217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349768661942202 × 6371000     		do = 106.80606864112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53896623-1.53901416) × cos(-1.21348893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349752960519998 × 6371000     		du = 106.801274022962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21347217)-sin(-1.21348893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349768661942202-0.349752960519998)×R²
    abs(1.53901416-1.53896623)×1.5701422203418e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5701422203418e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5701422203418e-05×40589641000000     		ar = 11404.2781455596m²