Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97635 / 102007
↖ ↑ ↗
← S 70.251101°
E 88.162537°		 ← 103.20 m → S 70.251101°
E 88.165283°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.252029°
E 88.162537°		 ← 103.20 m →
10 645 m²		 S 70.252029°
E 88.165283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744899749755859 y=0.778255462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744899749755859 × 217)
    floor (0.744899749755859 × 131072)
    floor (97635.5)     		tx = 97635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778255462646484 × 217)
    floor (0.778255462646484 × 131072)
    floor (102007.5)     		ty = 102007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97635 / 102007 ti = "17/97635/102007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97635/102007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97635 ÷ 217
    97635 ÷ 131072     		x = 0.744895935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102007 ÷ 217
    102007 ÷ 131072     		y = 0.778251647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744895935058594 × 2 - 1) × π
    0.489791870117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.53872654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778251647949219 × 2 - 1) × π
    -0.556503295898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.74830666604307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53872654} λ = 1.53872654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74830666604307))-π/2
    2×atan(0.174068450048359)-π/2
    2×0.172341654740067-π/2
    0.344683309480135-1.57079632675     		φ = -1.22611302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53872654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.162537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22611302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.251101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97635 KachelY 102007 1.53872654 -1.22611302 88.162537 -70.251101
    Oben rechts KachelX + 1 97636 KachelY 102007 1.53877448 -1.22611302 88.165283 -70.251101
    Unten links KachelX 97635 KachelY + 1 102008 1.53872654 -1.22612921 88.162537 -70.252029
    Unten rechts KachelX + 1 97636 KachelY + 1 102008 1.53877448 -1.22612921 88.165283 -70.252029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22611302--1.22612921) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22611302--1.22612921) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53872654-1.53877448) × cos(-1.22611302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337898628091795 × 6371000     		do = 103.202938529854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53872654-1.53877448) × cos(-1.22612921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337883390302675 × 6371000     		du = 103.198284516836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22611302)-sin(-1.22612921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337898628091795-0.337883390302675)×R²
    abs(1.53877448-1.53872654)×1.5237789120548e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5237789120548e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5237789120548e-05×40589641000000     		ar = 10644.7808446198m²