Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 976 / 1200
↖ ↑ ↗
← S 29.535229°
W  8.437500°		 ← 17.006 km → S 29.535229°
W  8.261719°		 →
↑
16.993 km
↓
↑
16.993 km
↓
S 29.688053°
W  8.437500°		 ← 16.980 km →
288.769 km²		 S 29.688053°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476806640625 y=0.586181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476806640625 × 211)
    floor (0.476806640625 × 2048)
    floor (976.5)     		tx = 976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586181640625 × 211)
    floor (0.586181640625 × 2048)
    floor (1200.5)     		ty = 1200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 976 / 1200 ti = "11/976/1200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/976/1200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 976 ÷ 211
    976 ÷ 2048     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1200 ÷ 211
    1200 ÷ 2048     		y = 0.5859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5859375 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539961237320313))-π/2
    2×atan(0.582770841695643)-π/2
    2×0.527654662801254-π/2
    1.05530932560251-1.57079632675     		φ = -0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 976 KachelY 1200 -0.14726216 -0.51548700 -8.437500 -29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 977 KachelY 1200 -0.14419419 -0.51548700 -8.261719 -29.535229
    Unten links KachelX 976 KachelY + 1 1201 -0.14726216 -0.51815427 -8.437500 -29.688053
    Unten rechts KachelX + 1 977 KachelY + 1 1201 -0.14419419 -0.51815427 -8.261719 -29.688053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51548700--0.51815427) × R
    0.00266727 × 6371000     		dl = 16993.17717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51548700--0.51815427) × R
    0.00266727 × 6371000     		dr = 16993.17717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14419419) × cos(-0.51548700) × R
    0.00306797 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 17006.0832208986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14419419) × cos(-0.51815427) × R
    0.00306797 × 0.868734807526026 × 6371000     		du = 16980.3225781561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51548700)-sin(-0.51815427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.868734807526026)×R²
    abs(-0.14419419--0.14726216)×0.00131794710681477×R²
    0.00306797×0.00131794710681477×6371000²
    0.00306797×0.00131794710681477×40589641000000     		ar = 288768678.757072m²