Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97571 / 101217
↖ ↑ ↗
← S 69.504727°
E 87.986755°		 ← 106.94 m → S 69.504727°
E 87.989502°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
S 69.505688°
E 87.986755°		 ← 106.93 m →
11 432 m²		 S 69.505688°
E 87.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744411468505859 y=0.772228240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744411468505859 × 217)
    floor (0.744411468505859 × 131072)
    floor (97571.5)     		tx = 97571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772228240966797 × 217)
    floor (0.772228240966797 × 131072)
    floor (101217.5)     		ty = 101217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97571 / 101217 ti = "17/97571/101217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97571/101217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97571 ÷ 217
    97571 ÷ 131072     		x = 0.744407653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101217 ÷ 217
    101217 ÷ 131072     		y = 0.772224426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744407653808594 × 2 - 1) × π
    0.488815307617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.53565858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772224426269531 × 2 - 1) × π
    -0.544448852539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.71043651534322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53565858} λ = 1.53565858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71043651534322))-π/2
    2×atan(0.180786859152668)-π/2
    2×0.178854998543291-π/2
    0.357709997086582-1.57079632675     		φ = -1.21308633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53565858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.986755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21308633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.504727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97571 KachelY 101217 1.53565858 -1.21308633 87.986755 -69.504727
    Oben rechts KachelX + 1 97572 KachelY 101217 1.53570652 -1.21308633 87.989502 -69.504727
    Unten links KachelX 97571 KachelY + 1 101218 1.53565858 -1.21310311 87.986755 -69.505688
    Unten rechts KachelX + 1 97572 KachelY + 1 101218 1.53570652 -1.21310311 87.989502 -69.505688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21308633--1.21310311) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21308633--1.21310311) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53565858-1.53570652) × cos(-1.21308633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350130104739589 × 6371000     		do = 106.938746336296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53565858-1.53570652) × cos(-1.21310311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350114386846206 × 6371000     		du = 106.933945687079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21308633)-sin(-1.21310311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350130104739589-0.350114386846206)×R²
    abs(1.53570652-1.53565858)×1.57178933828939e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57178933828939e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57178933828939e-05×40589641000000     		ar = 11432.0707065244m²