Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97568 / 101216
↖ ↑ ↗
← S 69.503765°
E 87.978516°		 ← 106.94 m → S 69.503765°
E 87.981262°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
S 69.504727°
E 87.978516°		 ← 106.94 m →
11 433 m²		 S 69.504727°
E 87.981262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744388580322266 y=0.772220611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744388580322266 × 217)
    floor (0.744388580322266 × 131072)
    floor (97568.5)     		tx = 97568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772220611572266 × 217)
    floor (0.772220611572266 × 131072)
    floor (101216.5)     		ty = 101216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97568 / 101216 ti = "17/97568/101216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97568/101216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97568 ÷ 217
    97568 ÷ 131072     		x = 0.744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101216 ÷ 217
    101216 ÷ 131072     		y = 0.772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744384765625 × 2 - 1) × π
    0.48876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53551477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.54443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53551477} λ = 1.53551477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7103885784436))-π/2
    2×atan(0.18079552572191)-π/2
    2×0.178863390807555-π/2
    0.35772678161511-1.57079632675     		φ = -1.21306955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53551477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21306955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.503765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97568 KachelY 101216 1.53551477 -1.21306955 87.978516 -69.503765
    Oben rechts KachelX + 1 97569 KachelY 101216 1.53556271 -1.21306955 87.981262 -69.503765
    Unten links KachelX 97568 KachelY + 1 101217 1.53551477 -1.21308633 87.978516 -69.504727
    Unten rechts KachelX + 1 97569 KachelY + 1 101217 1.53556271 -1.21308633 87.981262 -69.504727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21306955--1.21308633) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dl = 106.905380001023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21306955--1.21308633) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dr = 106.905380001023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53551477-1.53556271) × cos(-1.21306955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350145822534387 × 6371000     		do = 106.943546955404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53551477-1.53556271) × cos(-1.21308633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350130104739589 × 6371000     		du = 106.938746336296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21306955)-sin(-1.21308633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350145822534387-0.350130104739589)×R²
    abs(1.53556271-1.53551477)×1.57177947974763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57177947974763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57177947974763e-05×40589641000000     		ar = 11432.5839200174m²