Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97563 / 101226
↖ ↑ ↗
← S 69.513380°
E 87.964782°		 ← 106.90 m → S 69.513380°
E 87.967529°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.514341°
E 87.964782°		 ← 106.89 m →
11 421 m²		 S 69.514341°
E 87.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744350433349609 y=0.772296905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744350433349609 × 217)
    floor (0.744350433349609 × 131072)
    floor (97563.5)     		tx = 97563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772296905517578 × 217)
    floor (0.772296905517578 × 131072)
    floor (101226.5)     		ty = 101226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97563 / 101226 ti = "17/97563/101226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97563/101226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97563 ÷ 217
    97563 ÷ 131072     		x = 0.744346618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101226 ÷ 217
    101226 ÷ 131072     		y = 0.772293090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744346618652344 × 2 - 1) × π
    0.488693237304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.53527508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772293090820312 × 2 - 1) × π
    -0.544586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7108679474398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53527508} λ = 1.53527508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7108679474398))-π/2
    2×atan(0.180708878721829)-π/2
    2×0.178779485120317-π/2
    0.357558970240634-1.57079632675     		φ = -1.21323736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53527508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.964782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21323736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.513380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97563 KachelY 101226 1.53527508 -1.21323736 87.964782 -69.513380
    Oben rechts KachelX + 1 97564 KachelY 101226 1.53532302 -1.21323736 87.967529 -69.513380
    Unten links KachelX 97563 KachelY + 1 101227 1.53527508 -1.21325413 87.964782 -69.514341
    Unten rechts KachelX + 1 97564 KachelY + 1 101227 1.53532302 -1.21325413 87.967529 -69.514341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21323736--1.21325413) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21323736--1.21325413) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53527508-1.53532302) × cos(-1.21323736) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.349988630783054 × 6371000     		do = 106.895536548926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53527508-1.53532302) × cos(-1.21325413) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.349972921370139 × 6371000     		du = 106.890738489862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21323736)-sin(-1.21325413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349988630783054-0.349972921370139)×R²
    abs(1.53532302-1.53527508)×1.57094129145108e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.57094129145108e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.57094129145108e-05×40589641000000     		ar = 11420.6413243256m²