Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97535 / 102143
↖ ↑ ↗
← S 70.376931°
E 87.887878°		 ← 102.57 m → S 70.376931°
E 87.890625°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
S 70.377854°
E 87.887878°		 ← 102.57 m →
10 521 m²		 S 70.377854°
E 87.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744136810302734 y=0.779293060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744136810302734 × 217)
    floor (0.744136810302734 × 131072)
    floor (97535.5)     		tx = 97535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779293060302734 × 217)
    floor (0.779293060302734 × 131072)
    floor (102143.5)     		ty = 102143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97535 / 102143 ti = "17/97535/102143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97535/102143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97535 ÷ 217
    97535 ÷ 131072     		x = 0.744132995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102143 ÷ 217
    102143 ÷ 131072     		y = 0.779289245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744132995605469 × 2 - 1) × π
    0.488265991210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.53393285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779289245605469 × 2 - 1) × π
    -0.558578491210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.7548260843914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53393285} λ = 1.53393285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7548260843914))-π/2
    2×atan(0.172937316175075)-π/2
    2×0.171243576688766-π/2
    0.342487153377532-1.57079632675     		φ = -1.22830917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53393285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.887878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22830917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.376931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97535 KachelY 102143 1.53393285 -1.22830917 87.887878 -70.376931
    Oben rechts KachelX + 1 97536 KachelY 102143 1.53398079 -1.22830917 87.890625 -70.376931
    Unten links KachelX 97535 KachelY + 1 102144 1.53393285 -1.22832527 87.887878 -70.377854
    Unten rechts KachelX + 1 97536 KachelY + 1 102144 1.53398079 -1.22832527 87.890625 -70.377854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22830917--1.22832527) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dl = 102.573100000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22830917--1.22832527) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dr = 102.573100000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53393285-1.53398079) × cos(-1.22830917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33583083692913 × 6371000     		do = 102.571381883832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53393285-1.53398079) × cos(-1.22832527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335815671936321 × 6371000     		du = 102.566750104681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22830917)-sin(-1.22832527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33583083692913-0.335815671936321)×R²
    abs(1.53398079-1.53393285)×1.51649928088471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51649928088471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51649928088471e-05×40589641000000     		ar = 10520.8270634544m²