Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97528 / 102138
↖ ↑ ↗
← S 70.372319°
E 87.868652°		 ← 102.59 m → S 70.372319°
E 87.871399°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
S 70.373242°
E 87.868652°		 ← 102.59 m →
10 523 m²		 S 70.373242°
E 87.871399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744083404541016 y=0.779254913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744083404541016 × 217)
    floor (0.744083404541016 × 131072)
    floor (97528.5)     		tx = 97528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779254913330078 × 217)
    floor (0.779254913330078 × 131072)
    floor (102138.5)     		ty = 102138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97528 / 102138 ti = "17/97528/102138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97528/102138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97528 ÷ 217
    97528 ÷ 131072     		x = 0.74407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102138 ÷ 217
    102138 ÷ 131072     		y = 0.779251098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74407958984375 × 2 - 1) × π
    0.4881591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53359729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.558502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7545863998933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53359729} λ = 1.53359729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7545863998933))-π/2
    2×atan(0.17297877153681)-π/2
    2×0.171283827954611-π/2
    0.342567655909222-1.57079632675     		φ = -1.22822867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53359729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.868652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22822867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.372319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97528 KachelY 102138 1.53359729 -1.22822867 87.868652 -70.372319
    Oben rechts KachelX + 1 97529 KachelY 102138 1.53364523 -1.22822867 87.871399 -70.372319
    Unten links KachelX 97528 KachelY + 1 102139 1.53359729 -1.22824477 87.868652 -70.373242
    Unten rechts KachelX + 1 97529 KachelY + 1 102139 1.53364523 -1.22824477 87.871399 -70.373242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22822867--1.22824477) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dl = 102.573100000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22822867--1.22824477) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dr = 102.573100000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53359729-1.53364523) × cos(-1.22822867) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.335906660587335 × 6371000     		do = 102.594540381223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53359729-1.53364523) × cos(-1.22824477) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.335891496029819 × 6371000     		du = 102.589908735022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22822867)-sin(-1.22824477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335906660587335-0.335891496029819)×R²
    abs(1.53364523-1.53359729)×1.51645575159898e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.51645575159898e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.51645575159898e-05×40589641000000     		ar = 10523.2025090976m²