Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97525 / 101812
↖ ↑ ↗
← S 70.069330°
E 87.860412°		 ← 104.11 m → S 70.069330°
E 87.863159°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
S 70.070266°
E 87.860412°		 ← 104.11 m →
10 838 m²		 S 70.070266°
E 87.863159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744060516357422 y=0.776767730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744060516357422 × 217)
    floor (0.744060516357422 × 131072)
    floor (97525.5)     		tx = 97525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776767730712891 × 217)
    floor (0.776767730712891 × 131072)
    floor (101812.5)     		ty = 101812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97525 / 101812 ti = "17/97525/101812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97525/101812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97525 ÷ 217
    97525 ÷ 131072     		x = 0.744056701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101812 ÷ 217
    101812 ÷ 131072     		y = 0.776763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744056701660156 × 2 - 1) × π
    0.488113403320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.53345348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.55352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73895897061716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53345348} λ = 1.53345348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73895897061716))-π/2
    2×atan(0.17570321765377)-π/2
    2×0.173927906438883-π/2
    0.347855812877767-1.57079632675     		φ = -1.22294051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53345348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.860412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22294051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.069330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97525 KachelY 101812 1.53345348 -1.22294051 87.860412 -70.069330
    Oben rechts KachelX + 1 97526 KachelY 101812 1.53350142 -1.22294051 87.863159 -70.069330
    Unten links KachelX 97525 KachelY + 1 101813 1.53345348 -1.22295685 87.860412 -70.070266
    Unten rechts KachelX + 1 97526 KachelY + 1 101813 1.53350142 -1.22295685 87.863159 -70.070266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22294051--1.22295685) × R
    1.63400000001701e-05 × 6371000     		dl = 104.102140001084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22294051--1.22295685) × R
    1.63400000001701e-05 × 6371000     		dr = 104.102140001084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53345348-1.53350142) × cos(-1.22294051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34088283356487 × 6371000     		do = 104.114391694779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53345348-1.53350142) × cos(-1.22295685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340867472190778 × 6371000     		du = 104.109699935729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22294051)-sin(-1.22295685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34088283356487-0.340867472190778)×R²
    abs(1.53350142-1.53345348)×1.53613740925262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53613740925262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53613740925262e-05×40589641000000     		ar = 10838.2867695391m²