Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97520 / 101809
↖ ↑ ↗
← S 70.066521°
E 87.846680°		 ← 104.11 m → S 70.066521°
E 87.849426°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
S 70.067457°
E 87.846680°		 ← 104.10 m →
10 837 m²		 S 70.067457°
E 87.849426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744022369384766 y=0.776744842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744022369384766 × 217)
    floor (0.744022369384766 × 131072)
    floor (97520.5)     		tx = 97520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776744842529297 × 217)
    floor (0.776744842529297 × 131072)
    floor (101809.5)     		ty = 101809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97520 / 101809 ti = "17/97520/101809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97520/101809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97520 ÷ 217
    97520 ÷ 131072     		x = 0.7440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101809 ÷ 217
    101809 ÷ 131072     		y = 0.776741027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7440185546875 × 2 - 1) × π
    0.488037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53321380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776741027832031 × 2 - 1) × π
    -0.553482055664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.7388151599183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53321380} λ = 1.53321380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7388151599183))-π/2
    2×atan(0.175728487473285)-π/2
    2×0.173952419394876-π/2
    0.347904838789752-1.57079632675     		φ = -1.22289149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53321380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.846680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22289149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.066521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97520 KachelY 101809 1.53321380 -1.22289149 87.846680 -70.066521
    Oben rechts KachelX + 1 97521 KachelY 101809 1.53326173 -1.22289149 87.849426 -70.066521
    Unten links KachelX 97520 KachelY + 1 101810 1.53321380 -1.22290783 87.846680 -70.067457
    Unten rechts KachelX + 1 97521 KachelY + 1 101810 1.53326173 -1.22290783 87.849426 -70.067457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22289149--1.22290783) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22289149--1.22290783) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53321380-1.53326173) × cos(-1.22289149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340928917141046 × 6371000     		do = 104.106746223955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53321380-1.53326173) × cos(-1.22290783) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340913556040008 × 6371000     		du = 104.102055526959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22289149)-sin(-1.22290783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340928917141046-0.340913556040008)×R²
    abs(1.53326173-1.53321380)×1.53611010373367e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53611010373367e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53611010373367e-05×40589641000000     		ar = 10837.4909147547m²