Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9752 / 10584
↖ ↑ ↗
← S 46.437857°
E 34.277344°		 ← 1 683.72 m → S 46.437857°
E 34.299316°		 →
↑
1 683.54 m
↓
↑
1 683.54 m
↓
S 46.452997°
E 34.277344°		 ← 1 683.25 m →
2 834 209 m²		 S 46.452997°
E 34.299316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595245361328125 y=0.646026611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595245361328125 × 214)
    floor (0.595245361328125 × 16384)
    floor (9752.5)     		tx = 9752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646026611328125 × 214)
    floor (0.646026611328125 × 16384)
    floor (10584.5)     		ty = 10584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9752 / 10584 ti = "14/9752/10584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9752/10584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9752 ÷ 214
    9752 ÷ 16384     		x = 0.59521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10584 ÷ 214
    10584 ÷ 16384     		y = 0.64599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59521484375 × 2 - 1) × π
    0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.917320511129395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59825251} λ = 0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917320511129395))-π/2
    2×atan(0.399588300314184)-π/2
    2×0.380151413212421-π/2
    0.760302826424842-1.57079632675     		φ = -0.81049350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81049350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.437857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9752 KachelY 10584 0.59825251 -0.81049350 34.277344 -46.437857
    Oben rechts KachelX + 1 9753 KachelY 10584 0.59863600 -0.81049350 34.299316 -46.437857
    Unten links KachelX 9752 KachelY + 1 10585 0.59825251 -0.81075775 34.277344 -46.452997
    Unten rechts KachelX + 1 9753 KachelY + 1 10585 0.59863600 -0.81075775 34.299316 -46.452997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81049350--0.81075775) × R
    0.000264250000000077 × 6371000     		dl = 1683.53675000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81049350--0.81075775) × R
    0.000264250000000077 × 6371000     		dr = 1683.53675000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59825251-0.59863600) × cos(-0.81049350) × R
    0.000383489999999931 × 0.689140913284706 × 6371000     		do = 1683.719271731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59825251-0.59863600) × cos(-0.81075775) × R
    0.000383489999999931 × 0.688949406448049 × 6371000     		du = 1683.25137939529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81049350)-sin(-0.81075775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689140913284706-0.688949406448049)×R²
    abs(0.59863600-0.59825251)×0.000191506836657029×R²
    0.000383489999999931×0.000191506836657029×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191506836657029×40589641000000     		ar = 2834209.43016383m²