Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9751 / 15857
↖ ↑ ↗
← N 67.640587°
W126.436157°		 ← 232.38 m → N 67.640587°
W126.430664°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
N 67.638497°
W126.436157°		 ← 232.40 m →
54 010 m²		 N 67.638497°
W126.430664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148796081542969 y=0.241966247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148796081542969 × 216)
    floor (0.148796081542969 × 65536)
    floor (9751.5)     		tx = 9751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241966247558594 × 216)
    floor (0.241966247558594 × 65536)
    floor (15857.5)     		ty = 15857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9751 / 15857 ti = "16/9751/15857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9751/15857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9751 ÷ 216
    9751 ÷ 65536     		x = 0.148788452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15857 ÷ 216
    15857 ÷ 65536     		y = 0.241958618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148788452148438 × 2 - 1) × π
    -0.702423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.20672724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241958618164062 × 2 - 1) × π
    0.516082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62132181894954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20672724} λ = -2.20672724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62132181894954))-π/2
    2×atan(5.05977400343687)-π/2
    2×1.37567363648155-π/2
    2.7513472729631-1.57079632675     		φ = 1.18055095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20672724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.436157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18055095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.640587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9751 KachelY 15857 -2.20672724 1.18055095 -126.436157 67.640587
    Oben rechts KachelX + 1 9752 KachelY 15857 -2.20663136 1.18055095 -126.430664 67.640587
    Unten links KachelX 9751 KachelY + 1 15858 -2.20672724 1.18051447 -126.436157 67.638497
    Unten rechts KachelX + 1 9752 KachelY + 1 15858 -2.20663136 1.18051447 -126.430664 67.638497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18055095-1.18051447) × R
    3.64799999998944e-05 × 6371000     		dl = 232.414079999327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18055095-1.18051447) × R
    3.64799999998944e-05 × 6371000     		dr = 232.414079999327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20672724--2.20663136) × cos(1.18055095) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.380415354896034 × 6371000     		do = 232.377282553891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20672724--2.20663136) × cos(1.18051447) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.38044909192119 × 6371000     		du = 232.397890865639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18055095)-sin(1.18051447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380415354896034-0.38044909192119)×R²
    abs(-2.20663136--2.20672724)×3.37370251558555e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.37370251558555e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.37370251558555e-05×40589641000000     		ar = 54010.147174724m²