Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97507 / 102109
↖ ↑ ↗
← S 70.345546°
E 87.810974°		 ← 102.71 m → S 70.345546°
E 87.813720°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.346470°
E 87.810974°		 ← 102.70 m →
10 548 m²		 S 70.346470°
E 87.813720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743923187255859 y=0.779033660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743923187255859 × 217)
    floor (0.743923187255859 × 131072)
    floor (97507.5)     		tx = 97507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779033660888672 × 217)
    floor (0.779033660888672 × 131072)
    floor (102109.5)     		ty = 102109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97507 / 102109 ti = "17/97507/102109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97507/102109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97507 ÷ 217
    97507 ÷ 131072     		x = 0.743919372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102109 ÷ 217
    102109 ÷ 131072     		y = 0.779029846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743919372558594 × 2 - 1) × π
    0.487838745117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.53259062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779029846191406 × 2 - 1) × π
    -0.558059692382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75319622980431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53259062} λ = 1.53259062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75319622980431))-π/2
    2×atan(0.173219408675552)-π/2
    2×0.171517464569541-π/2
    0.343034929139082-1.57079632675     		φ = -1.22776140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53259062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.810974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22776140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.345546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97507 KachelY 102109 1.53259062 -1.22776140 87.810974 -70.345546
    Oben rechts KachelX + 1 97508 KachelY 102109 1.53263855 -1.22776140 87.813720 -70.345546
    Unten links KachelX 97507 KachelY + 1 102110 1.53259062 -1.22777752 87.810974 -70.346470
    Unten rechts KachelX + 1 97508 KachelY + 1 102110 1.53263855 -1.22777752 87.813720 -70.346470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22776140--1.22777752) × R
    1.61200000001749e-05 × 6371000     		dl = 102.700520001114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22776140--1.22777752) × R
    1.61200000001749e-05 × 6371000     		dr = 102.700520001114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53259062-1.53263855) × cos(-1.22776140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336346743306892 × 6371000     		do = 102.707524320144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53259062-1.53263855) × cos(-1.22777752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336331562443144 × 6371000     		du = 102.702888660773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22776140)-sin(-1.22777752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336346743306892-0.336331562443144)×R²
    abs(1.53263855-1.53259062)×1.51808637487982e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51808637487982e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51808637487982e-05×40589641000000     		ar = 10547.8781137286m²