Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97500 / 102132
↖ ↑ ↗
← S 70.366783°
E 87.791748°		 ← 102.62 m → S 70.366783°
E 87.794495°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.367706°
E 87.791748°		 ← 102.62 m →
10 533 m²		 S 70.367706°
E 87.794495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743869781494141 y=0.779209136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743869781494141 × 217)
    floor (0.743869781494141 × 131072)
    floor (97500.5)     		tx = 97500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779209136962891 × 217)
    floor (0.779209136962891 × 131072)
    floor (102132.5)     		ty = 102132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97500 / 102132 ti = "17/97500/102132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97500/102132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97500 ÷ 217
    97500 ÷ 131072     		x = 0.743865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102132 ÷ 217
    102132 ÷ 131072     		y = 0.779205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743865966796875 × 2 - 1) × π
    0.48773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53225506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.55841064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75429877849558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53225506} λ = 1.53225506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75429877849558))-π/2
    2×atan(0.173028531088468)-π/2
    2×0.17133214147002-π/2
    0.34266428294004-1.57079632675     		φ = -1.22813204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53225506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.791748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22813204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.366783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97500 KachelY 102132 1.53225506 -1.22813204 87.791748 -70.366783
    Oben rechts KachelX + 1 97501 KachelY 102132 1.53230300 -1.22813204 87.794495 -70.366783
    Unten links KachelX 97500 KachelY + 1 102133 1.53225506 -1.22814815 87.791748 -70.367706
    Unten rechts KachelX + 1 97501 KachelY + 1 102133 1.53230300 -1.22814815 87.794495 -70.367706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22813204--1.22814815) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22813204--1.22814815) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53225506-1.53230300) × cos(-1.22813204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3359976743597 × 6371000     		do = 102.622338329523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53225506-1.53230300) × cos(-1.22814815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335982500906145 × 6371000     		du = 102.617703966243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22813204)-sin(-1.22814815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3359976743597-0.335982500906145)×R²
    abs(1.53230300-1.53225506)×1.51734535547843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51734535547843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51734535547843e-05×40589641000000     		ar = 10532.5916131392m²