Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 975 / 546
↖ ↑ ↗
← N 64.014496°
W  8.613281°		 ← 8 563.95 m → N 64.014496°
W  8.437500°		 →
↑
8 575.81 m
↓
↑
8 575.81 m
↓
N 63.937372°
W  8.613281°		 ← 8 587.59 m →
73 544 176 m²		 N 63.937372°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476318359375 y=0.266845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476318359375 × 211)
    floor (0.476318359375 × 2048)
    floor (975.5)     		tx = 975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266845703125 × 211)
    floor (0.266845703125 × 2048)
    floor (546.5)     		ty = 546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 975 / 546 ti = "11/975/546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/975/546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 975 ÷ 211
    975 ÷ 2048     		x = 0.47607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 546 ÷ 211
    546 ÷ 2048     		y = 0.2666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47607421875 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2666015625 × 2 - 1) × π
    0.466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46648563317676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15033012} λ = -0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46648563317676))-π/2
    2×atan(4.33397716015145)-π/2
    2×1.34403002719098-π/2
    2.68806005438195-1.57079632675     		φ = 1.11726373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11726373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.014496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 975 KachelY 546 -0.15033012 1.11726373 -8.613281 64.014496
    Oben rechts KachelX + 1 976 KachelY 546 -0.14726216 1.11726373 -8.437500 64.014496
    Unten links KachelX 975 KachelY + 1 547 -0.15033012 1.11591766 -8.613281 63.937372
    Unten rechts KachelX + 1 976 KachelY + 1 547 -0.14726216 1.11591766 -8.437500 63.937372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11726373-1.11591766) × R
    0.00134606999999987 × 6371000     		dl = 8575.81196999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11726373-1.11591766) × R
    0.00134606999999987 × 6371000     		dr = 8575.81196999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15033012--0.14726216) × cos(1.11726373) × R
    0.00306796000000001 × 0.438143730026227 × 6371000     		do = 8563.94558731495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15033012--0.14726216) × cos(1.11591766) × R
    0.00306796000000001 × 0.439353321681726 × 6371000     		du = 8587.58823334788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11726373)-sin(1.11591766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438143730026227-0.439353321681726)×R²
    abs(-0.14726216--0.15033012)×0.00120959165549861×R²
    0.00306796000000001×0.00120959165549861×6371000²
    0.00306796000000001×0.00120959165549861×40589641000000     		ar = 73544175.6261193m²