Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 975 / 397
↖ ↑ ↗
← N 73.378215°
W  8.613281°		 ← 5 591.18 m → N 73.378215°
W  8.437500°		 →
↑
5 599.41 m
↓
↑
5 599.41 m
↓
N 73.327858°
W  8.613281°		 ← 5 607.64 m →
31 353 374 m²		 N 73.327858°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476318359375 y=0.194091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476318359375 × 211)
    floor (0.476318359375 × 2048)
    floor (975.5)     		tx = 975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194091796875 × 211)
    floor (0.194091796875 × 2048)
    floor (397.5)     		ty = 397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 975 / 397 ti = "11/975/397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/975/397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 975 ÷ 211
    975 ÷ 2048     		x = 0.47607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 397 ÷ 211
    397 ÷ 2048     		y = 0.19384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47607421875 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19384765625 × 2 - 1) × π
    0.6123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92361190795361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15033012} λ = -0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92361190795361))-π/2
    2×atan(6.84563968975315)-π/2
    2×1.42574388695758-π/2
    2.85148777391517-1.57079632675     		φ = 1.28069145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28069145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.378215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 975 KachelY 397 -0.15033012 1.28069145 -8.613281 73.378215
    Oben rechts KachelX + 1 976 KachelY 397 -0.14726216 1.28069145 -8.437500 73.378215
    Unten links KachelX 975 KachelY + 1 398 -0.15033012 1.27981256 -8.613281 73.327858
    Unten rechts KachelX + 1 976 KachelY + 1 398 -0.14726216 1.27981256 -8.437500 73.327858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28069145-1.27981256) × R
    0.000878889999999855 × 6371000     		dl = 5599.40818999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28069145-1.27981256) × R
    0.000878889999999855 × 6371000     		dr = 5599.40818999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15033012--0.14726216) × cos(1.28069145) × R
    0.00306796000000001 × 0.28605272107843 × 6371000     		do = 5591.17880854397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15033012--0.14726216) × cos(1.27981256) × R
    0.00306796000000001 × 0.286894775087066 × 6371000     		du = 5607.63757359604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28069145)-sin(1.27981256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28605272107843-0.286894775087066)×R²
    abs(-0.14726216--0.15033012)×0.000842054008635962×R²
    0.00306796000000001×0.000842054008635962×6371000²
    0.00306796000000001×0.000842054008635962×40589641000000     		ar = 31353374.1024619m²