Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97497 / 101795
↖ ↑ ↗
← S 70.053407°
E 87.783508°		 ← 104.19 m → S 70.053407°
E 87.786255°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
S 70.054345°
E 87.783508°		 ← 104.19 m →
10 860 m²		 S 70.054345°
E 87.786255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743846893310547 y=0.776638031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743846893310547 × 217)
    floor (0.743846893310547 × 131072)
    floor (97497.5)     		tx = 97497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776638031005859 × 217)
    floor (0.776638031005859 × 131072)
    floor (101795.5)     		ty = 101795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97497 / 101795 ti = "17/97497/101795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97497/101795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97497 ÷ 217
    97497 ÷ 131072     		x = 0.743843078613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101795 ÷ 217
    101795 ÷ 131072     		y = 0.776634216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743843078613281 × 2 - 1) × π
    0.487686157226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.53211125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776634216308594 × 2 - 1) × π
    -0.553268432617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.73814404332362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53211125} λ = 1.53211125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73814404332362))-π/2
    2×atan(0.175846461360075)-π/2
    2×0.174066857017545-π/2
    0.348133714035091-1.57079632675     		φ = -1.22266261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53211125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.783508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22266261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.053407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97497 KachelY 101795 1.53211125 -1.22266261 87.783508 -70.053407
    Oben rechts KachelX + 1 97498 KachelY 101795 1.53215919 -1.22266261 87.786255 -70.053407
    Unten links KachelX 97497 KachelY + 1 101796 1.53211125 -1.22267897 87.783508 -70.054345
    Unten rechts KachelX + 1 97498 KachelY + 1 101796 1.53215919 -1.22267897 87.786255 -70.054345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22266261--1.22267897) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22266261--1.22267897) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53211125-1.53215919) × cos(-1.22266261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341144075797243 × 6371000     		do = 104.194181796921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53211125-1.53215919) × cos(-1.22267897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341128697171287 × 6371000     		du = 104.189484768708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22266261)-sin(-1.22267897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341144075797243-0.341128697171287)×R²
    abs(1.53215919-1.53211125)×1.53786259559641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53786259559641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53786259559641e-05×40589641000000     		ar = 10859.8689388996m²