Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97489 / 101811
↖ ↑ ↗
← S 70.068394°
E 87.761535°		 ← 104.12 m → S 70.068394°
E 87.764282°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
S 70.069330°
E 87.761535°		 ← 104.11 m →
10 839 m²		 S 70.069330°
E 87.764282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743785858154297 y=0.776760101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743785858154297 × 217)
    floor (0.743785858154297 × 131072)
    floor (97489.5)     		tx = 97489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776760101318359 × 217)
    floor (0.776760101318359 × 131072)
    floor (101811.5)     		ty = 101811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97489 / 101811 ti = "17/97489/101811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97489/101811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97489 ÷ 217
    97489 ÷ 131072     		x = 0.743782043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101811 ÷ 217
    101811 ÷ 131072     		y = 0.776756286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743782043457031 × 2 - 1) × π
    0.487564086914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.53172775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776756286621094 × 2 - 1) × π
    -0.553512573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.73891103371754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53172775} λ = 1.53172775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73891103371754))-π/2
    2×atan(0.17571164052316)-π/2
    2×0.173936077055988-π/2
    0.347872154111976-1.57079632675     		φ = -1.22292417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53172775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.761535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22292417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.068394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97489 KachelY 101811 1.53172775 -1.22292417 87.761535 -70.068394
    Oben rechts KachelX + 1 97490 KachelY 101811 1.53177569 -1.22292417 87.764282 -70.068394
    Unten links KachelX 97489 KachelY + 1 101812 1.53172775 -1.22294051 87.761535 -70.069330
    Unten rechts KachelX + 1 97490 KachelY + 1 101812 1.53177569 -1.22294051 87.764282 -70.069330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22292417--1.22294051) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22292417--1.22294051) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53172775-1.53177569) × cos(-1.22292417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340898194847948 × 6371000     		do = 104.119083426031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53172775-1.53177569) × cos(-1.22294051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34088283356487 × 6371000     		du = 104.114391694779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22292417)-sin(-1.22294051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340898194847948-0.34088283356487)×R²
    abs(1.53177569-1.53172775)×1.53612830780525e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53612830780525e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53612830780525e-05×40589641000000     		ar = 10838.7751900283m²