Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9747 / 10581
↖ ↑ ↗
← S 46.392411°
E 34.167480°		 ← 1 685.17 m → S 46.392411°
E 34.189453°		 →
↑
1 684.94 m
↓
↑
1 684.94 m
↓
S 46.407564°
E 34.167480°		 ← 1 684.70 m →
2 839 008 m²		 S 46.407564°
E 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594940185546875 y=0.645843505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594940185546875 × 214)
    floor (0.594940185546875 × 16384)
    floor (9747.5)     		tx = 9747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645843505859375 × 214)
    floor (0.645843505859375 × 16384)
    floor (10581.5)     		ty = 10581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9747 / 10581 ti = "14/9747/10581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9747/10581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9747 ÷ 214
    9747 ÷ 16384     		x = 0.59490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10581 ÷ 214
    10581 ÷ 16384     		y = 0.64581298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59490966796875 × 2 - 1) × π
    0.1898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59633503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.2916259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.916170025538513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59633503} λ = 0.59633503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916170025538513))-π/2
    2×atan(0.400048285448378)-π/2
    2×0.380548001805816-π/2
    0.761096003611632-1.57079632675     		φ = -0.80970032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59633503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.167480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80970032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.392411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9747 KachelY 10581 0.59633503 -0.80970032 34.167480 -46.392411
    Oben rechts KachelX + 1 9748 KachelY 10581 0.59671853 -0.80970032 34.189453 -46.392411
    Unten links KachelX 9747 KachelY + 1 10582 0.59633503 -0.80996479 34.167480 -46.407564
    Unten rechts KachelX + 1 9748 KachelY + 1 10582 0.59671853 -0.80996479 34.189453 -46.407564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80970032--0.80996479) × R
    0.000264469999999961 × 6371000     		dl = 1684.93836999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80970032--0.80996479) × R
    0.000264469999999961 × 6371000     		dr = 1684.93836999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59633503-0.59671853) × cos(-0.80970032) × R
    0.000383499999999981 × 0.689715456367641 × 6371000     		do = 1685.16694566066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59633503-0.59671853) × cos(-0.80996479) × R
    0.000383499999999981 × 0.689523934675751 × 6371000     		du = 1684.69900482858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80970032)-sin(-0.80996479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689715456367641-0.689523934675751)×R²
    abs(0.59671853-0.59633503)×0.000191521691890073×R²
    0.000383499999999981×0.000191521691890073×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191521691890073×40589641000000     		ar = 2839008.23741568m²