Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9746 / 7378
↖ ↑ ↗
← N 17.602139°
E 34.145508°		 ← 2 328.82 m → N 17.602139°
E 34.167480°		 →
↑
2 328.98 m
↓
↑
2 328.98 m
↓
N 17.581194°
E 34.145508°		 ← 2 329.09 m →
5 424 101 m²		 N 17.581194°
E 34.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594879150390625 y=0.450347900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594879150390625 × 214)
    floor (0.594879150390625 × 16384)
    floor (9746.5)     		tx = 9746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450347900390625 × 214)
    floor (0.450347900390625 × 16384)
    floor (7378.5)     		ty = 7378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9746 / 7378 ti = "14/9746/7378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9746/7378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9746 ÷ 214
    9746 ÷ 16384     		x = 0.5948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7378 ÷ 214
    7378 ÷ 16384     		y = 0.4503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5948486328125 × 2 - 1) × π
    0.189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59595154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4503173828125 × 2 - 1) × π
    0.099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312165090325806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59595154} λ = 0.59595154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312165090325806))-π/2
    2×atan(1.36638025057102)-π/2
    2×0.939005804941486-π/2
    1.87801160988297-1.57079632675     		φ = 0.30721528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59595154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.145508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30721528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.602139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9746 KachelY 7378 0.59595154 0.30721528 34.145508 17.602139
    Oben rechts KachelX + 1 9747 KachelY 7378 0.59633503 0.30721528 34.167480 17.602139
    Unten links KachelX 9746 KachelY + 1 7379 0.59595154 0.30684972 34.145508 17.581194
    Unten rechts KachelX + 1 9747 KachelY + 1 7379 0.59633503 0.30684972 34.167480 17.581194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30721528-0.30684972) × R
    0.000365559999999987 × 6371000     		dl = 2328.98275999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30721528-0.30684972) × R
    0.000365559999999987 × 6371000     		dr = 2328.98275999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59595154-0.59633503) × cos(0.30721528) × R
    0.000383490000000042 × 0.953179379162112 × 6371000     		do = 2328.82195669215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59595154-0.59633503) × cos(0.30684972) × R
    0.000383490000000042 × 0.953289862816349 × 6371000     		du = 2329.09189199023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30721528)-sin(0.30684972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953179379162112-0.953289862816349)×R²
    abs(0.59633503-0.59595154)×0.000110483654236271×R²
    0.000383490000000042×0.000110483654236271×6371000²
    0.000383490000000042×0.000110483654236271×40589641000000     		ar = 5424100.58597685m²