Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9746 / 15791
↖ ↑ ↗
← N 67.778103°
W126.463623°		 ← 231.02 m → N 67.778103°
W126.458130°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
N 67.776026°
W126.463623°		 ← 231.04 m →
53 371 m²		 N 67.776026°
W126.458130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148719787597656 y=0.240959167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148719787597656 × 216)
    floor (0.148719787597656 × 65536)
    floor (9746.5)     		tx = 9746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240959167480469 × 216)
    floor (0.240959167480469 × 65536)
    floor (15791.5)     		ty = 15791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9746 / 15791 ti = "16/9746/15791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9746/15791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9746 ÷ 216
    9746 ÷ 65536     		x = 0.148712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15791 ÷ 216
    15791 ÷ 65536     		y = 0.240951538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.70257568359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20720661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240951538085938 × 2 - 1) × π
    0.518096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62764948969939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20720661} λ = -2.20720661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62764948969939))-π/2
    2×atan(5.09189209659282)-π/2
    2×1.37687369214727-π/2
    2.75374738429453-1.57079632675     		φ = 1.18295106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20720661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.463623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18295106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.778103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9746 KachelY 15791 -2.20720661 1.18295106 -126.463623 67.778103
    Oben rechts KachelX + 1 9747 KachelY 15791 -2.20711073 1.18295106 -126.458130 67.778103
    Unten links KachelX 9746 KachelY + 1 15792 -2.20720661 1.18291480 -126.463623 67.776026
    Unten rechts KachelX + 1 9747 KachelY + 1 15792 -2.20711073 1.18291480 -126.458130 67.776026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18295106-1.18291480) × R
    3.62599999998992e-05 × 6371000     		dl = 231.012459999357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18295106-1.18291480) × R
    3.62599999998992e-05 × 6371000     		dr = 231.012459999357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20720661--2.20711073) × cos(1.18295106) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378194601819004 × 6371000     		do = 231.020732248998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20720661--2.20711073) × cos(1.18291480) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378228168399366 × 6371000     		du = 231.04123644429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18295106)-sin(1.18291480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378194601819004-0.378228168399366)×R²
    abs(-2.20711073--2.20720661)×3.3566580361577e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.3566580361577e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.3566580361577e-05×40589641000000     		ar = 53371.0360358328m²