Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97432 / 101799
↖ ↑ ↗
← S 70.057155°
E 87.604980°		 ← 104.18 m → S 70.057155°
E 87.607727°		 →
↑
104.17 m
↓
↑
104.17 m
↓
S 70.058092°
E 87.604980°		 ← 104.17 m →
10 851 m²		 S 70.058092°
E 87.607727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743350982666016 y=0.776668548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743350982666016 × 217)
    floor (0.743350982666016 × 131072)
    floor (97432.5)     		tx = 97432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776668548583984 × 217)
    floor (0.776668548583984 × 131072)
    floor (101799.5)     		ty = 101799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97432 / 101799 ti = "17/97432/101799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97432/101799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97432 ÷ 217
    97432 ÷ 131072     		x = 0.74334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101799 ÷ 217
    101799 ÷ 131072     		y = 0.776664733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74334716796875 × 2 - 1) × π
    0.4866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52899535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776664733886719 × 2 - 1) × π
    -0.553329467773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.7383357909221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52899535} λ = 1.52899535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7383357909221))-π/2
    2×atan(0.175812746455887)-π/2
    2×0.17403415318662-π/2
    0.348068306373239-1.57079632675     		φ = -1.22272802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52899535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.604980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22272802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.057155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97432 KachelY 101799 1.52899535 -1.22272802 87.604980 -70.057155
    Oben rechts KachelX + 1 97433 KachelY 101799 1.52904329 -1.22272802 87.607727 -70.057155
    Unten links KachelX 97432 KachelY + 1 101800 1.52899535 -1.22274437 87.604980 -70.058092
    Unten rechts KachelX + 1 97433 KachelY + 1 101800 1.52904329 -1.22274437 87.607727 -70.058092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22272802--1.22274437) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dl = 104.165850000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22272802--1.22274437) × R
    1.63500000001093e-05 × 6371000     		dr = 104.165850000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52899535-1.52904329) × cos(-1.22272802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341082588946618 × 6371000     		do = 104.175402130068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52899535-1.52904329) × cos(-1.22274437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341067219356032 × 6371000     		du = 104.17070786149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22272802)-sin(-1.22274437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341082588946618-0.341067219356032)×R²
    abs(1.52904329-1.52899535)×1.5369590586678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5369590586678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5369590586678e-05×40589641000000     		ar = 10851.2748210363m²