Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9743 / 10589
↖ ↑ ↗
← S 46.513515°
E 34.079590°		 ← 1 681.42 m → S 46.513515°
E 34.101563°		 →
↑
1 681.18 m
↓
↑
1 681.18 m
↓
S 46.528635°
E 34.079590°		 ← 1 680.96 m →
2 826 382 m²		 S 46.528635°
E 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594696044921875 y=0.646331787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594696044921875 × 214)
    floor (0.594696044921875 × 16384)
    floor (9743.5)     		tx = 9743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646331787109375 × 214)
    floor (0.646331787109375 × 16384)
    floor (10589.5)     		ty = 10589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9743 / 10589 ti = "14/9743/10589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9743/10589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9743 ÷ 214
    9743 ÷ 16384     		x = 0.59466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10589 ÷ 214
    10589 ÷ 16384     		y = 0.64630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59466552734375 × 2 - 1) × π
    0.1893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59480105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.2926025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.919237987114197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59480105} λ = 0.59480105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919237987114197))-π/2
    2×atan(0.398822833461211)-π/2
    2×0.379491166626936-π/2
    0.758982333253872-1.57079632675     		φ = -0.81181399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59480105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81181399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.513515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9743 KachelY 10589 0.59480105 -0.81181399 34.079590 -46.513515
    Oben rechts KachelX + 1 9744 KachelY 10589 0.59518455 -0.81181399 34.101563 -46.513515
    Unten links KachelX 9743 KachelY + 1 10590 0.59480105 -0.81207787 34.079590 -46.528635
    Unten rechts KachelX + 1 9744 KachelY + 1 10590 0.59518455 -0.81207787 34.101563 -46.528635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81181399--0.81207787) × R
    0.000263879999999994 × 6371000     		dl = 1681.17947999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81181399--0.81207787) × R
    0.000263879999999994 × 6371000     		dr = 1681.17947999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59480105-0.59518455) × cos(-0.81181399) × R
    0.000383499999999981 × 0.688183449563287 × 6371000     		do = 1681.42382637373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59480105-0.59518455) × cos(-0.81207787) × R
    0.000383499999999981 × 0.687991970974419 × 6371000     		du = 1680.95599085434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81181399)-sin(-0.81207787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688183449563287-0.687991970974419)×R²
    abs(0.59518455-0.59480105)×0.000191478588868033×R²
    0.000383499999999981×0.000191478588868033×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191478588868033×40589641000000     		ar = 2826381.99274549m²