Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97412 / 101765
↖ ↑ ↗
← S 70.025279°
E 87.550049°		 ← 104.34 m → S 70.025279°
E 87.552795°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.026217°
E 87.550049°		 ← 104.33 m →
10 881 m²		 S 70.026217°
E 87.552795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743198394775391 y=0.776409149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743198394775391 × 217)
    floor (0.743198394775391 × 131072)
    floor (97412.5)     		tx = 97412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776409149169922 × 217)
    floor (0.776409149169922 × 131072)
    floor (101765.5)     		ty = 101765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97412 / 101765 ti = "17/97412/101765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97412/101765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97412 ÷ 217
    97412 ÷ 131072     		x = 0.743194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101765 ÷ 217
    101765 ÷ 131072     		y = 0.776405334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743194580078125 × 2 - 1) × π
    0.48638916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52803661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776405334472656 × 2 - 1) × π
    -0.552810668945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.73670593633501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52803661} λ = 1.52803661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73670593633501))-π/2
    2×atan(0.176099529310857)-π/2
    2×0.174312323723627-π/2
    0.348624647447253-1.57079632675     		φ = -1.22217168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52803661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.550049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22217168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.025279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97412 KachelY 101765 1.52803661 -1.22217168 87.550049 -70.025279
    Oben rechts KachelX + 1 97413 KachelY 101765 1.52808455 -1.22217168 87.552795 -70.025279
    Unten links KachelX 97412 KachelY + 1 101766 1.52803661 -1.22218805 87.550049 -70.026217
    Unten rechts KachelX + 1 97413 KachelY + 1 101766 1.52808455 -1.22218805 87.552795 -70.026217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22217168--1.22218805) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22217168--1.22218805) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52803661-1.52808455) × cos(-1.22217168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341605514279279 × 6371000     		do = 104.335116986761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52803661-1.52808455) × cos(-1.22218805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341590128996563 × 6371000     		du = 104.330417925402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22217168)-sin(-1.22218805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341605514279279-0.341590128996563)×R²
    abs(1.52808455-1.52803661)×1.53852827169398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53852827169398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53852827169398e-05×40589641000000     		ar = 10881.2054863369m²