Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97409 / 101771
↖ ↑ ↗
← S 70.030908°
E 87.541809°		 ← 104.31 m → S 70.030908°
E 87.544556°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.031846°
E 87.541809°		 ← 104.30 m →
10 878 m²		 S 70.031846°
E 87.544556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743175506591797 y=0.776454925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743175506591797 × 217)
    floor (0.743175506591797 × 131072)
    floor (97409.5)     		tx = 97409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776454925537109 × 217)
    floor (0.776454925537109 × 131072)
    floor (101771.5)     		ty = 101771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97409 / 101771 ti = "17/97409/101771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97409/101771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97409 ÷ 217
    97409 ÷ 131072     		x = 0.743171691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101771 ÷ 217
    101771 ÷ 131072     		y = 0.776451110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743171691894531 × 2 - 1) × π
    0.486343383789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.52789280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776451110839844 × 2 - 1) × π
    -0.552902221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73699355773273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52789280} λ = 1.52789280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73699355773273))-π/2
    2×atan(0.176048886601411)-π/2
    2×0.174263203835195-π/2
    0.34852640767039-1.57079632675     		φ = -1.22226992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52789280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.541809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22226992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.030908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97409 KachelY 101771 1.52789280 -1.22226992 87.541809 -70.030908
    Oben rechts KachelX + 1 97410 KachelY 101771 1.52794074 -1.22226992 87.544556 -70.030908
    Unten links KachelX 97409 KachelY + 1 101772 1.52789280 -1.22228629 87.541809 -70.031846
    Unten rechts KachelX + 1 97410 KachelY + 1 101772 1.52794074 -1.22228629 87.544556 -70.031846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22226992--1.22228629) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22226992--1.22228629) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52789280-1.52794074) × cos(-1.22226992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341513182412446 × 6371000     		do = 104.306916458008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52789280-1.52794074) × cos(-1.22228629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34149779658045 × 6371000     		du = 104.302217228885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22226992)-sin(-1.22228629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341513182412446-0.34149779658045)×R²
    abs(1.52794074-1.52789280)×1.53858319965061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53858319965061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53858319965061e-05×40589641000000     		ar = 10878.2643522102m²