Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 974 / 619
↖ ↑ ↗
← N 57.797944°
W  8.789063°		 ← 10.416 km → N 57.797944°
W  8.613281°		 →
↑
10.430 km
↓
↑
10.430 km
↓
N 57.704147°
W  8.789063°		 ← 10.443 km →
108.779 km²		 N 57.704147°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475830078125 y=0.302490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475830078125 × 211)
    floor (0.475830078125 × 2048)
    floor (974.5)     		tx = 974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302490234375 × 211)
    floor (0.302490234375 × 2048)
    floor (619.5)     		ty = 619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 974 / 619 ti = "11/974/619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/974/619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 974 ÷ 211
    974 ÷ 2048     		x = 0.4755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 619 ÷ 211
    619 ÷ 2048     		y = 0.30224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30224609375 × 2 - 1) × π
    0.3955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15339808} λ = -0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24252443815186))-π/2
    2×atan(3.4643479674485)-π/2
    2×1.28978037422592-π/2
    2.57956074845184-1.57079632675     		φ = 1.00876442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00876442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.797944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 974 KachelY 619 -0.15339808 1.00876442 -8.789063 57.797944
    Oben rechts KachelX + 1 975 KachelY 619 -0.15033012 1.00876442 -8.613281 57.797944
    Unten links KachelX 974 KachelY + 1 620 -0.15339808 1.00712736 -8.789063 57.704147
    Unten rechts KachelX + 1 975 KachelY + 1 620 -0.15033012 1.00712736 -8.613281 57.704147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00876442-1.00712736) × R
    0.00163706000000019 × 6371000     		dl = 10429.7092600012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00876442-1.00712736) × R
    0.00163706000000019 × 6371000     		dr = 10429.7092600012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15339808--0.15033012) × cos(1.00876442) × R
    0.00306795999999998 × 0.532906643614054 × 6371000     		do = 10416.1789528659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15339808--0.15033012) × cos(1.00712736) × R
    0.00306795999999998 × 0.534291166586826 × 6371000     		du = 10443.2408017311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00876442)-sin(1.00712736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532906643614054-0.534291166586826)×R²
    abs(-0.15033012--0.15339808)×0.00138452297277258×R²
    0.00306795999999998×0.00138452297277258×6371000²
    0.00306795999999998×0.00138452297277258×40589641000000     		ar = 108778865.98002m²