Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 974 / 1189
↖ ↑ ↗
← S 27.839076°
W  8.789063°		 ← 17.284 km → S 27.839076°
W  8.613281°		 →
↑
17.271 km
↓
↑
17.271 km
↓
S 27.994402°
W  8.789063°		 ← 17.259 km →
298.301 km²		 S 27.994402°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475830078125 y=0.580810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475830078125 × 211)
    floor (0.475830078125 × 2048)
    floor (974.5)     		tx = 974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580810546875 × 211)
    floor (0.580810546875 × 2048)
    floor (1189.5)     		ty = 1189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 974 / 1189 ti = "11/974/1189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/974/1189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 974 ÷ 211
    974 ÷ 2048     		x = 0.4755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1189 ÷ 211
    1189 ÷ 2048     		y = 0.58056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15339808} λ = -0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506213659987793))-π/2
    2×atan(0.602773569150951)-π/2
    2×0.542456394120286-π/2
    1.08491278824057-1.57079632675     		φ = -0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 974 KachelY 1189 -0.15339808 -0.48588354 -8.789063 -27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 975 KachelY 1189 -0.15033012 -0.48588354 -8.613281 -27.839076
    Unten links KachelX 974 KachelY + 1 1190 -0.15339808 -0.48859448 -8.789063 -27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 975 KachelY + 1 1190 -0.15033012 -0.48859448 -8.613281 -27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48588354--0.48859448) × R
    0.00271094 × 6371000     		dl = 17271.39874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48588354--0.48859448) × R
    0.00271094 × 6371000     		dr = 17271.39874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15339808--0.15033012) × cos(-0.48588354) × R
    0.00306795999999998 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 17283.7748074868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15339808--0.15033012) × cos(-0.48859448) × R
    0.00306795999999998 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 17258.966488624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48588354)-sin(-0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.882993460972506)×R²
    abs(-0.15033012--0.15339808)×0.00126922914810734×R²
    0.00306795999999998×0.00126922914810734×6371000²
    0.00306795999999998×0.00126922914810734×40589641000000     		ar = 298300911.938234m²