Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 974 / 1076
↖ ↑ ↗
← N 78.733501°
W137.197266°		 ← 954.69 m → N 78.733501°
W137.153320°		 →
↑
955.08 m
↓
↑
955.08 m
↓
N 78.724912°
W137.197266°		 ← 955.41 m →
912 143 m²		 N 78.724912°
W137.153320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11895751953125 y=0.13140869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11895751953125 × 213)
    floor (0.11895751953125 × 8192)
    floor (974.5)     		tx = 974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13140869140625 × 213)
    floor (0.13140869140625 × 8192)
    floor (1076.5)     		ty = 1076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 974 / 1076 ti = "13/974/1076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/974/1076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 974 ÷ 213
    974 ÷ 8192     		x = 0.118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1076 ÷ 213
    1076 ÷ 8192     		y = 0.13134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.76220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39454401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13134765625 × 2 - 1) × π
    0.7373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31631098964111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39454401} λ = -2.39454401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31631098964111))-π/2
    2×atan(10.1382052924316)-π/2
    2×1.47247757113172-π/2
    2.94495514226343-1.57079632675     		φ = 1.37415882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39454401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37415882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.733501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 974 KachelY 1076 -2.39454401 1.37415882 -137.197266 78.733501
    Oben rechts KachelX + 1 975 KachelY 1076 -2.39377702 1.37415882 -137.153320 78.733501
    Unten links KachelX 974 KachelY + 1 1077 -2.39454401 1.37400891 -137.197266 78.724912
    Unten rechts KachelX + 1 975 KachelY + 1 1077 -2.39377702 1.37400891 -137.153320 78.724912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37415882-1.37400891) × R
    0.000149909999999975 × 6371000     		dl = 955.076609999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37415882-1.37400891) × R
    0.000149909999999975 × 6371000     		dr = 955.076609999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39454401--2.39377702) × cos(1.37415882) × R
    0.000766990000000245 × 0.19537274668399 × 6371000     		do = 954.687615720492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39454401--2.39377702) × cos(1.37400891) × R
    0.000766990000000245 × 0.195519765581573 × 6371000     		du = 955.406022577033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37415882)-sin(1.37400891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19537274668399-0.195519765581573)×R²
    abs(-2.39377702--2.39454401)×0.000147018897582618×R²
    0.000766990000000245×0.000147018897582618×6371000²
    0.000766990000000245×0.000147018897582618×40589641000000     		ar = 912142.880132577m²