Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97393 / 101767
↖ ↑ ↗
← S 70.027156°
E 87.497864°		 ← 104.33 m → S 70.027156°
E 87.500610°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.028093°
E 87.497864°		 ← 104.32 m →
10 880 m²		 S 70.028093°
E 87.500610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743053436279297 y=0.776424407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743053436279297 × 217)
    floor (0.743053436279297 × 131072)
    floor (97393.5)     		tx = 97393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776424407958984 × 217)
    floor (0.776424407958984 × 131072)
    floor (101767.5)     		ty = 101767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97393 / 101767 ti = "17/97393/101767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97393/101767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97393 ÷ 217
    97393 ÷ 131072     		x = 0.743049621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101767 ÷ 217
    101767 ÷ 131072     		y = 0.776420593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743049621582031 × 2 - 1) × π
    0.486099243164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.52712581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776420593261719 × 2 - 1) × π
    -0.552841186523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.73680181013425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52712581} λ = 1.52712581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73680181013425))-π/2
    2×atan(0.176082646789246)-π/2
    2×0.174295948952099-π/2
    0.348591897904198-1.57079632675     		φ = -1.22220443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52712581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.497864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22220443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.027156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97393 KachelY 101767 1.52712581 -1.22220443 87.497864 -70.027156
    Oben rechts KachelX + 1 97394 KachelY 101767 1.52717375 -1.22220443 87.500610 -70.027156
    Unten links KachelX 97393 KachelY + 1 101768 1.52712581 -1.22222080 87.497864 -70.028093
    Unten rechts KachelX + 1 97394 KachelY + 1 101768 1.52717375 -1.22222080 87.500610 -70.028093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22220443--1.22222080) × R
    1.63700000002098e-05 × 6371000     		dl = 104.293270001337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22220443--1.22222080) × R
    1.63700000002098e-05 × 6371000     		dr = 104.293270001337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52712581-1.52717375) × cos(-1.22220443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341574734223761 × 6371000     		do = 104.325715965527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52712581-1.52717375) × cos(-1.22222080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341559348757916 × 6371000     		du = 104.321016848236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22220443)-sin(-1.22222080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341574734223761-0.341559348757916)×R²
    abs(1.52717375-1.52712581)×1.53854658455077e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53854658455077e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53854658455077e-05×40589641000000     		ar = 10880.2250202966m²