Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9739 / 15859
↖ ↑ ↗
← N 67.636407°
W126.502075°		 ← 232.39 m → N 67.636407°
W126.496582°		 →
↑
232.41 m
↓
↑
232.41 m
↓
N 67.634317°
W126.502075°		 ← 232.41 m →
54 014 m²		 N 67.634317°
W126.496582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148612976074219 y=0.241996765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148612976074219 × 216)
    floor (0.148612976074219 × 65536)
    floor (9739.5)     		tx = 9739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241996765136719 × 216)
    floor (0.241996765136719 × 65536)
    floor (15859.5)     		ty = 15859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9739 / 15859 ti = "16/9739/15859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9739/15859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9739 ÷ 216
    9739 ÷ 65536     		x = 0.148605346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15859 ÷ 216
    15859 ÷ 65536     		y = 0.241989135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148605346679688 × 2 - 1) × π
    -0.702789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.20787772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241989135742188 × 2 - 1) × π
    0.516021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62113007135106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20787772} λ = -2.20787772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62113007135106))-π/2
    2×atan(5.05880389693362)-π/2
    2×1.37563716138189-π/2
    2.75127432276377-1.57079632675     		φ = 1.18047800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20787772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.502075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18047800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.636407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9739 KachelY 15859 -2.20787772 1.18047800 -126.502075 67.636407
    Oben rechts KachelX + 1 9740 KachelY 15859 -2.20778185 1.18047800 -126.496582 67.636407
    Unten links KachelX 9739 KachelY + 1 15860 -2.20787772 1.18044152 -126.502075 67.634317
    Unten rechts KachelX + 1 9740 KachelY + 1 15860 -2.20778185 1.18044152 -126.496582 67.634317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18047800-1.18044152) × R
    3.64799999998944e-05 × 6371000     		dl = 232.414079999327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18047800-1.18044152) × R
    3.64799999998944e-05 × 6371000     		dr = 232.414079999327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20787772--2.20778185) × cos(1.18047800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380482819192168 × 6371000     		do = 232.394252657692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20787772--2.20778185) × cos(1.18044152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380516555204822 × 6371000     		du = 232.41485820163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18047800)-sin(1.18044152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380482819192168-0.380516555204822)×R²
    abs(-2.20778185--2.20787772)×3.37360126538289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37360126538289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37360126538289e-05×40589641000000     		ar = 54014.0909439612m²