Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97385 / 101781
↖ ↑ ↗
← S 70.040285°
E 87.475891°		 ← 104.24 m → S 70.040285°
E 87.478638°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.041223°
E 87.475891°		 ← 104.23 m →
10 871 m²		 S 70.041223°
E 87.478638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742992401123047 y=0.776531219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742992401123047 × 217)
    floor (0.742992401123047 × 131072)
    floor (97385.5)     		tx = 97385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776531219482422 × 217)
    floor (0.776531219482422 × 131072)
    floor (101781.5)     		ty = 101781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97385 / 101781 ti = "17/97385/101781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97385/101781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97385 ÷ 217
    97385 ÷ 131072     		x = 0.742988586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101781 ÷ 217
    101781 ÷ 131072     		y = 0.776527404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742988586425781 × 2 - 1) × π
    0.485977172851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.52674232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776527404785156 × 2 - 1) × π
    -0.553054809570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.73747292672894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52674232} λ = 1.52674232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73747292672894))-π/2
    2×atan(0.175964514447672)-π/2
    2×0.174181366856765-π/2
    0.348362733713531-1.57079632675     		φ = -1.22243359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52674232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.475891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22243359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.040285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97385 KachelY 101781 1.52674232 -1.22243359 87.475891 -70.040285
    Oben rechts KachelX + 1 97386 KachelY 101781 1.52679025 -1.22243359 87.478638 -70.040285
    Unten links KachelX 97385 KachelY + 1 101782 1.52674232 -1.22244996 87.475891 -70.041223
    Unten rechts KachelX + 1 97386 KachelY + 1 101782 1.52679025 -1.22244996 87.478638 -70.041223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22243359--1.22244996) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22243359--1.22244996) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52674232-1.52679025) × cos(-1.22243359) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.341359348172853 × 6371000     		do = 104.23818351712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52674232-1.52679025) × cos(-1.22244996) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.341343961426075 × 6371000     		du = 104.233484988889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22243359)-sin(-1.22244996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341359348172853-0.341343961426075)×R²
    abs(1.52679025-1.52674232)×1.5386746778534e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.5386746778534e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.5386746778534e-05×40589641000000     		ar = 10871.0960055116m²