Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9738 / 15868
↖ ↑ ↗
← N 67.617589°
W126.507569°		 ← 232.60 m → N 67.617589°
W126.502075°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
N 67.615497°
W126.507569°		 ← 232.62 m →
54 107 m²		 N 67.615497°
W126.502075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148597717285156 y=0.242134094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148597717285156 × 216)
    floor (0.148597717285156 × 65536)
    floor (9738.5)     		tx = 9738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242134094238281 × 216)
    floor (0.242134094238281 × 65536)
    floor (15868.5)     		ty = 15868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9738 / 15868 ti = "16/9738/15868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9738/15868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9738 ÷ 216
    9738 ÷ 65536     		x = 0.148590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15868 ÷ 216
    15868 ÷ 65536     		y = 0.24212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.70281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.20797360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24212646484375 × 2 - 1) × π
    0.5157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6202672071579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20797360} λ = -2.20797360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6202672071579))-π/2
    2×atan(5.05444071887651)-π/2
    2×1.37547294337131-π/2
    2.75094588674263-1.57079632675     		φ = 1.18014956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20797360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.507569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18014956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.617589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9738 KachelY 15868 -2.20797360 1.18014956 -126.507569 67.617589
    Oben rechts KachelX + 1 9739 KachelY 15868 -2.20787772 1.18014956 -126.502075 67.617589
    Unten links KachelX 9738 KachelY + 1 15869 -2.20797360 1.18011305 -126.507569 67.615497
    Unten rechts KachelX + 1 9739 KachelY + 1 15869 -2.20787772 1.18011305 -126.502075 67.615497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18014956-1.18011305) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dl = 232.60520999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18014956-1.18011305) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dr = 232.60520999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20797360--2.20787772) × cos(1.18014956) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380786536031881 × 6371000     		do = 232.604019098996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20797360--2.20787772) × cos(1.18011305) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380820295223234 × 6371000     		du = 232.624640950997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18014956)-sin(1.18011305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380786536031881-0.380820295223234)×R²
    abs(-2.20787772--2.20797360)×3.37591913529556e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.37591913529556e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.37591913529556e-05×40589641000000     		ar = 54107.3050904805m²