Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97355 / 101763
↖ ↑ ↗
← S 70.023403°
E 87.393494°		 ← 104.34 m → S 70.023403°
E 87.396240°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.024341°
E 87.393494°		 ← 104.34 m →
10 882 m²		 S 70.024341°
E 87.396240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742763519287109 y=0.776393890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742763519287109 × 217)
    floor (0.742763519287109 × 131072)
    floor (97355.5)     		tx = 97355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776393890380859 × 217)
    floor (0.776393890380859 × 131072)
    floor (101763.5)     		ty = 101763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97355 / 101763 ti = "17/97355/101763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97355/101763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97355 ÷ 217
    97355 ÷ 131072     		x = 0.742759704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101763 ÷ 217
    101763 ÷ 131072     		y = 0.776390075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742759704589844 × 2 - 1) × π
    0.485519409179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.52530421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776390075683594 × 2 - 1) × π
    -0.552780151367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.73661006253577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52530421} λ = 1.52530421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73661006253577))-π/2
    2×atan(0.176116413451137)-π/2
    2×0.174328699970692-π/2
    0.348657399941383-1.57079632675     		φ = -1.22213893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52530421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.393494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22213893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.023403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97355 KachelY 101763 1.52530421 -1.22213893 87.393494 -70.023403
    Oben rechts KachelX + 1 97356 KachelY 101763 1.52535215 -1.22213893 87.396240 -70.023403
    Unten links KachelX 97355 KachelY + 1 101764 1.52530421 -1.22215530 87.393494 -70.024341
    Unten rechts KachelX + 1 97356 KachelY + 1 101764 1.52535215 -1.22215530 87.396240 -70.024341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22213893--1.22215530) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22213893--1.22215530) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52530421-1.52535215) × cos(-1.22213893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341636293968405 × 6371000     		do = 104.344517896089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52530421-1.52535215) × cos(-1.22215530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341620908868832 × 6371000     		du = 104.339818890667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22213893)-sin(-1.22215530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341636293968405-0.341620908868832)×R²
    abs(1.52535215-1.52530421)×1.53850995721627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53850995721627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53850995721627e-05×40589641000000     		ar = 10882.1859407114m²