Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97341 / 101613
↖ ↑ ↗
← S 69.882176°
E 87.355041°		 ← 105.05 m → S 69.882176°
E 87.357788°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.883121°
E 87.355041°		 ← 105.05 m →
11 036 m²		 S 69.883121°
E 87.357788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742656707763672 y=0.775249481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742656707763672 × 217)
    floor (0.742656707763672 × 131072)
    floor (97341.5)     		tx = 97341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775249481201172 × 217)
    floor (0.775249481201172 × 131072)
    floor (101613.5)     		ty = 101613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97341 / 101613 ti = "17/97341/101613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97341/101613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97341 ÷ 217
    97341 ÷ 131072     		x = 0.742652893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101613 ÷ 217
    101613 ÷ 131072     		y = 0.775245666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742652893066406 × 2 - 1) × π
    0.485305786132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.52463309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775245666503906 × 2 - 1) × π
    -0.550491333007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.72941952759277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52463309} λ = 1.52463309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72941952759277))-π/2
    2×atan(0.177387348551711)-π/2
    2×0.175561132228992-π/2
    0.351122264457985-1.57079632675     		φ = -1.21967406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52463309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.355041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21967406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.882176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97341 KachelY 101613 1.52463309 -1.21967406 87.355041 -69.882176
    Oben rechts KachelX + 1 97342 KachelY 101613 1.52468103 -1.21967406 87.357788 -69.882176
    Unten links KachelX 97341 KachelY + 1 101614 1.52463309 -1.21969055 87.355041 -69.883121
    Unten rechts KachelX + 1 97342 KachelY + 1 101614 1.52468103 -1.21969055 87.357788 -69.883121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21967406--1.21969055) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21967406--1.21969055) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52463309-1.52468103) × cos(-1.21967406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3439518181009 × 6371000     		do = 105.051738567744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52463309-1.52468103) × cos(-1.21969055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343936334153584 × 6371000     		du = 105.047009371677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21967406)-sin(-1.21969055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3439518181009-0.343936334153584)×R²
    abs(1.52468103-1.52463309)×1.54839473159307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54839473159307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54839473159307e-05×40589641000000     		ar = 11036.2550704707m²