Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97340 / 101749
↖ ↑ ↗
← S 70.010262°
E 87.352295°		 ← 104.39 m → S 70.010262°
E 87.355041°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
S 70.011200°
E 87.352295°		 ← 104.38 m →
10 893 m²		 S 70.011200°
E 87.355041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742649078369141 y=0.776287078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742649078369141 × 217)
    floor (0.742649078369141 × 131072)
    floor (97340.5)     		tx = 97340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776287078857422 × 217)
    floor (0.776287078857422 × 131072)
    floor (101749.5)     		ty = 101749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97340 / 101749 ti = "17/97340/101749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97340/101749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97340 ÷ 217
    97340 ÷ 131072     		x = 0.742645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101749 ÷ 217
    101749 ÷ 131072     		y = 0.776283264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742645263671875 × 2 - 1) × π
    0.48529052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52458516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776283264160156 × 2 - 1) × π
    -0.552566528320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.73593894594109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52458516} λ = 1.52458516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73593894594109))-π/2
    2×atan(0.176234647768868)-π/2
    2×0.174443375024892-π/2
    0.348886750049783-1.57079632675     		φ = -1.22190958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52458516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.352295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22190958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.010262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97340 KachelY 101749 1.52458516 -1.22190958 87.352295 -70.010262
    Oben rechts KachelX + 1 97341 KachelY 101749 1.52463309 -1.22190958 87.355041 -70.010262
    Unten links KachelX 97340 KachelY + 1 101750 1.52458516 -1.22192596 87.352295 -70.011200
    Unten rechts KachelX + 1 97341 KachelY + 1 101750 1.52463309 -1.22192596 87.355041 -70.011200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22190958--1.22192596) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dl = 104.35698000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22190958--1.22192596) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dr = 104.35698000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52458516-1.52463309) × cos(-1.22190958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341851835505884 × 6371000     		do = 104.388570449367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52458516-1.52463309) × cos(-1.22192596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341836442291753 × 6371000     		du = 104.383869946251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22190958)-sin(-1.22192596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341851835505884-0.341836442291753)×R²
    abs(1.52463309-1.52458516)×1.53932141315205e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53932141315205e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53932141315205e-05×40589641000000     		ar = 10893.4306939291m²