Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9734 / 7146
↖ ↑ ↗
← N 22.390714°
E 33.881836°		 ← 2 259.07 m → N 22.390714°
E 33.903809°		 →
↑
2 259.22 m
↓
↑
2 259.22 m
↓
N 22.370396°
E 33.881836°		 ← 2 259.40 m →
5 104 119 m²		 N 22.370396°
E 33.903809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594146728515625 y=0.436187744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594146728515625 × 214)
    floor (0.594146728515625 × 16384)
    floor (9734.5)     		tx = 9734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436187744140625 × 214)
    floor (0.436187744140625 × 16384)
    floor (7146.5)     		ty = 7146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9734 / 7146 ti = "14/9734/7146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9734/7146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9734 ÷ 214
    9734 ÷ 16384     		x = 0.5941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7146 ÷ 214
    7146 ÷ 16384     		y = 0.4361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5941162109375 × 2 - 1) × π
    0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    0.127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40113597602063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59134959} λ = 0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40113597602063))-π/2
    2×atan(1.49352033764562)-π/2
    2×0.980794003252622-π/2
    1.96158800650524-1.57079632675     		φ = 0.39079168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39079168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.390714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9734 KachelY 7146 0.59134959 0.39079168 33.881836 22.390714
    Oben rechts KachelX + 1 9735 KachelY 7146 0.59173309 0.39079168 33.903809 22.390714
    Unten links KachelX 9734 KachelY + 1 7147 0.59134959 0.39043707 33.881836 22.370396
    Unten rechts KachelX + 1 9735 KachelY + 1 7147 0.59173309 0.39043707 33.903809 22.370396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39079168-0.39043707) × R
    0.000354609999999977 × 6371000     		dl = 2259.22030999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39079168-0.39043707) × R
    0.000354609999999977 × 6371000     		dr = 2259.22030999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59134959-0.59173309) × cos(0.39079168) × R
    0.000383499999999981 × 0.924607782477568 × 6371000     		do = 2259.07431586001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59134959-0.59173309) × cos(0.39043707) × R
    0.000383499999999981 × 0.924742802569233 × 6371000     		du = 2259.40420754704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39079168)-sin(0.39043707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924607782477568-0.924742802569233)×R²
    abs(0.59173309-0.59134959)×0.000135020091664995×R²
    0.000383499999999981×0.000135020091664995×6371000²
    0.000383499999999981×0.000135020091664995×40589641000000     		ar = 5104119.2786753m²