Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97330 / 101746
↖ ↑ ↗
← S 70.007445°
E 87.324829°		 ← 104.40 m → S 70.007445°
E 87.327575°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
S 70.008384°
E 87.324829°		 ← 104.40 m →
10 902 m²		 S 70.008384°
E 87.327575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742572784423828 y=0.776264190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742572784423828 × 217)
    floor (0.742572784423828 × 131072)
    floor (97330.5)     		tx = 97330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776264190673828 × 217)
    floor (0.776264190673828 × 131072)
    floor (101746.5)     		ty = 101746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97330 / 101746 ti = "17/97330/101746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97330/101746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97330 ÷ 217
    97330 ÷ 131072     		x = 0.742568969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101746 ÷ 217
    101746 ÷ 131072     		y = 0.776260375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742568969726562 × 2 - 1) × π
    0.485137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52410579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776260375976562 × 2 - 1) × π
    -0.552520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73579513524223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52410579} λ = 1.52410579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73579513524223))-π/2
    2×atan(0.176259994019214)-π/2
    2×0.17446795766188-π/2
    0.34893591532376-1.57079632675     		φ = -1.22186041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52410579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.324829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22186041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.007445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97330 KachelY 101746 1.52410579 -1.22186041 87.324829 -70.007445
    Oben rechts KachelX + 1 97331 KachelY 101746 1.52415372 -1.22186041 87.327575 -70.007445
    Unten links KachelX 97330 KachelY + 1 101747 1.52410579 -1.22187680 87.324829 -70.008384
    Unten rechts KachelX + 1 97331 KachelY + 1 101747 1.52415372 -1.22187680 87.327575 -70.008384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22186041--1.22187680) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22186041--1.22187680) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52410579-1.52415372) × cos(-1.22186041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341898042790051 × 6371000     		do = 104.402680399461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52410579-1.52415372) × cos(-1.22187680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341882640453835 × 6371000     		du = 104.397977110807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22186041)-sin(-1.22187680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341898042790051-0.341882640453835)×R²
    abs(1.52415372-1.52410579)×1.54023362165523e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54023362165523e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54023362165523e-05×40589641000000     		ar = 10901.5543650612m²