Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97321 / 101400
↖ ↑ ↗
← S 69.679990°
E 87.300110°		 ← 106.06 m → S 69.679990°
E 87.302856°		 →
↑
106.08 m
↓
↑
106.08 m
↓
S 69.680944°
E 87.300110°		 ← 106.06 m →
11 251 m²		 S 69.680944°
E 87.302856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742504119873047 y=0.773624420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742504119873047 × 217)
    floor (0.742504119873047 × 131072)
    floor (97321.5)     		tx = 97321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773624420166016 × 217)
    floor (0.773624420166016 × 131072)
    floor (101400.5)     		ty = 101400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97321 / 101400 ti = "17/97321/101400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97321/101400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97321 ÷ 217
    97321 ÷ 131072     		x = 0.742500305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101400 ÷ 217
    101400 ÷ 131072     		y = 0.77362060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742500305175781 × 2 - 1) × π
    0.485000610351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.52367435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.5472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71920896797369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52367435} λ = 1.52367435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71920896797369))-π/2
    2×atan(0.179207851007773)-π/2
    2×0.177325543561405-π/2
    0.35465108712281-1.57079632675     		φ = -1.21614524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52367435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.300110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21614524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.679990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97321 KachelY 101400 1.52367435 -1.21614524 87.300110 -69.679990
    Oben rechts KachelX + 1 97322 KachelY 101400 1.52372229 -1.21614524 87.302856 -69.679990
    Unten links KachelX 97321 KachelY + 1 101401 1.52367435 -1.21616189 87.300110 -69.680944
    Unten rechts KachelX + 1 97322 KachelY + 1 101401 1.52372229 -1.21616189 87.302856 -69.680944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21614524--1.21616189) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dl = 106.077150000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21614524--1.21616189) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dr = 106.077150000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52367435-1.52372229) × cos(-1.21614524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347263186842855 × 6371000     		do = 106.063115816168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52367435-1.52372229) × cos(-1.21616189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34724757296234 × 6371000     		du = 106.058346935157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21614524)-sin(-1.21616189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347263186842855-0.34724757296234)×R²
    abs(1.52372229-1.52367435)×1.56138805155748e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56138805155748e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56138805155748e-05×40589641000000     		ar = 11250.62011159m²