Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 973 / 1188
↖ ↑ ↗
← S 27.683528°
W  8.964844°		 ← 17.308 km → S 27.683528°
W  8.789063°		 →
↑
17.296 km
↓
↑
17.296 km
↓
S 27.839076°
W  8.964844°		 ← 17.284 km →
299.157 km²		 S 27.839076°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475341796875 y=0.580322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475341796875 × 211)
    floor (0.475341796875 × 2048)
    floor (973.5)     		tx = 973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580322265625 × 211)
    floor (0.580322265625 × 2048)
    floor (1188.5)     		ty = 1188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 973 / 1188 ti = "11/973/1188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/973/1188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 973 ÷ 211
    973 ÷ 2048     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1188 ÷ 211
    1188 ÷ 2048     		y = 0.580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503145698412109))-π/2
    2×atan(0.604625694972627)-π/2
    2×0.543813806588609-π/2
    1.08762761317722-1.57079632675     		φ = -0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 973 KachelY 1188 -0.15646604 -0.48316871 -8.964844 -27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 974 KachelY 1188 -0.15339808 -0.48316871 -8.789063 -27.683528
    Unten links KachelX 973 KachelY + 1 1189 -0.15646604 -0.48588354 -8.964844 -27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 974 KachelY + 1 1189 -0.15339808 -0.48588354 -8.789063 -27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48316871--0.48588354) × R
    0.00271483 × 6371000     		dl = 17296.18193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48316871--0.48588354) × R
    0.00271483 × 6371000     		dr = 17296.18193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15339808) × cos(-0.48316871) × R
    0.00306796000000001 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 17308.4914290835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15339808) × cos(-0.48588354) × R
    0.00306796000000001 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 17283.774807487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48316871)-sin(-0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.884262690120614)×R²
    abs(-0.15339808--0.15646604)×0.00126453778454771×R²
    0.00306796000000001×0.00126453778454771×6371000²
    0.00306796000000001×0.00126453778454771×40589641000000     		ar = 299157248.839318m²