Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9729 / 15874
↖ ↑ ↗
← N 67.605035°
W126.557007°		 ← 232.70 m → N 67.605035°
W126.551514°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
N 67.602942°
W126.557007°		 ← 232.72 m →
54 160 m²		 N 67.602942°
W126.551514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148460388183594 y=0.242225646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148460388183594 × 216)
    floor (0.148460388183594 × 65536)
    floor (9729.5)     		tx = 9729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242225646972656 × 216)
    floor (0.242225646972656 × 65536)
    floor (15874.5)     		ty = 15874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9729 / 15874 ti = "16/9729/15874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9729/15874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9729 ÷ 216
    9729 ÷ 65536     		x = 0.148452758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15874 ÷ 216
    15874 ÷ 65536     		y = 0.242218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148452758789062 × 2 - 1) × π
    -0.703094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.20883646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242218017578125 × 2 - 1) × π
    0.51556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61969196436246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20883646} λ = -2.20883646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61969196436246))-π/2
    2×atan(5.05153402437568)-π/2
    2×1.3753633918835-π/2
    2.750726783767-1.57079632675     		φ = 1.17993046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20883646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.557007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17993046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.605035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9729 KachelY 15874 -2.20883646 1.17993046 -126.557007 67.605035
    Oben rechts KachelX + 1 9730 KachelY 15874 -2.20874059 1.17993046 -126.551514 67.605035
    Unten links KachelX 9729 KachelY + 1 15875 -2.20883646 1.17989393 -126.557007 67.602942
    Unten rechts KachelX + 1 9730 KachelY + 1 15875 -2.20874059 1.17989393 -126.551514 67.602942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17993046-1.17989393) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dl = 232.73263000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17993046-1.17989393) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dr = 232.73263000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20883646--2.20874059) × cos(1.17993046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380989120547892 × 6371000     		do = 232.703495333703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20883646--2.20874059) × cos(1.17989393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381022895183571 × 6371000     		du = 232.724124468112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17993046)-sin(1.17989393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380989120547892-0.381022895183571)×R²
    abs(-2.20874059--2.20883646)×3.37746356784963e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37746356784963e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37746356784963e-05×40589641000000     		ar = 54160.0970217988m²