Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97276 / 101397
↖ ↑ ↗
← S 69.677128°
E 87.176513°		 ← 106.08 m → S 69.677128°
E 87.179260°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
S 69.678082°
E 87.176513°		 ← 106.07 m →
11 245 m²		 S 69.678082°
E 87.179260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742160797119141 y=0.773601531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742160797119141 × 217)
    floor (0.742160797119141 × 131072)
    floor (97276.5)     		tx = 97276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773601531982422 × 217)
    floor (0.773601531982422 × 131072)
    floor (101397.5)     		ty = 101397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97276 / 101397 ti = "17/97276/101397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97276/101397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97276 ÷ 217
    97276 ÷ 131072     		x = 0.742156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101397 ÷ 217
    101397 ÷ 131072     		y = 0.773597717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742156982421875 × 2 - 1) × π
    0.48431396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52151719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773597717285156 × 2 - 1) × π
    -0.547195434570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.71906515727483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52151719} λ = 1.52151719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71906515727483))-π/2
    2×atan(0.179233624867302)-π/2
    2×0.177350515326032-π/2
    0.354701030652064-1.57079632675     		φ = -1.21609530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52151719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.176513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21609530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.677128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97276 KachelY 101397 1.52151719 -1.21609530 87.176513 -69.677128
    Oben rechts KachelX + 1 97277 KachelY 101397 1.52156513 -1.21609530 87.179260 -69.677128
    Unten links KachelX 97276 KachelY + 1 101398 1.52151719 -1.21611194 87.176513 -69.678082
    Unten rechts KachelX + 1 97277 KachelY + 1 101398 1.52156513 -1.21611194 87.179260 -69.678082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21609530--1.21611194) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dl = 106.01343999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21609530--1.21611194) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dr = 106.01343999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52151719-1.52156513) × cos(-1.21609530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347310018529266 × 6371000     		do = 106.077419418645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52151719-1.52156513) × cos(-1.21611194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347294414315075 × 6371000     		du = 106.072653489979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21609530)-sin(-1.21611194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347310018529266-0.347294414315075)×R²
    abs(1.52156513-1.52151719)×1.56042141912782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56042141912782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56042141912782e-05×40589641000000     		ar = 11245.3795127774m²