Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97273 / 101333
↖ ↑ ↗
← S 69.615990°
E 87.168274°		 ← 106.38 m → S 69.615990°
E 87.171020°		 →
↑
106.33 m
↓
↑
106.33 m
↓
S 69.616946°
E 87.168274°		 ← 106.38 m →
11 312 m²		 S 69.616946°
E 87.171020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742137908935547 y=0.773113250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742137908935547 × 217)
    floor (0.742137908935547 × 131072)
    floor (97273.5)     		tx = 97273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773113250732422 × 217)
    floor (0.773113250732422 × 131072)
    floor (101333.5)     		ty = 101333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97273 / 101333 ti = "17/97273/101333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97273/101333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97273 ÷ 217
    97273 ÷ 131072     		x = 0.742134094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101333 ÷ 217
    101333 ÷ 131072     		y = 0.773109436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742134094238281 × 2 - 1) × π
    0.484268188476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.52137338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773109436035156 × 2 - 1) × π
    -0.546218872070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.71599719569915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52137338} λ = 1.52137338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71599719569915))-π/2
    2×atan(0.179784351112975)-π/2
    2×0.177884049242152-π/2
    0.355768098484304-1.57079632675     		φ = -1.21502823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52137338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.168274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21502823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.615990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97273 KachelY 101333 1.52137338 -1.21502823 87.168274 -69.615990
    Oben rechts KachelX + 1 97274 KachelY 101333 1.52142132 -1.21502823 87.171020 -69.615990
    Unten links KachelX 97273 KachelY + 1 101334 1.52137338 -1.21504492 87.168274 -69.616946
    Unten rechts KachelX + 1 97274 KachelY + 1 101334 1.52142132 -1.21504492 87.171020 -69.616946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21502823--1.21504492) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dl = 106.331990000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21502823--1.21504492) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dr = 106.331990000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52137338-1.52142132) × cos(-1.21502823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34831046589337 × 6371000     		do = 106.382981795158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52137338-1.52142132) × cos(-1.21504492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348294820985523 × 6371000     		du = 106.378203437601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21502823)-sin(-1.21504492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34831046589337-0.348294820985523)×R²
    abs(1.52142132-1.52137338)×1.56449078467791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56449078467791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56449078467791e-05×40589641000000     		ar = 11311.6601105429m²