Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97271 / 101676
↖ ↑ ↗
← S 69.941607°
E 87.162781°		 ← 104.75 m → S 69.941607°
E 87.165528°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
S 69.942549°
E 87.162781°		 ← 104.75 m →
10 972 m²		 S 69.942549°
E 87.165528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742122650146484 y=0.775730133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742122650146484 × 217)
    floor (0.742122650146484 × 131072)
    floor (97271.5)     		tx = 97271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775730133056641 × 217)
    floor (0.775730133056641 × 131072)
    floor (101676.5)     		ty = 101676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97271 / 101676 ti = "17/97271/101676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97271/101676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97271 ÷ 217
    97271 ÷ 131072     		x = 0.742118835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101676 ÷ 217
    101676 ÷ 131072     		y = 0.775726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742118835449219 × 2 - 1) × π
    0.484237670898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.52127751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.55145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73243955226883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52127751} λ = 1.52127751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73243955226883))-π/2
    2×atan(0.176852442503149)-π/2
    2×0.175042496548447-π/2
    0.350084993096893-1.57079632675     		φ = -1.22071133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52127751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.162781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22071133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.941607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97271 KachelY 101676 1.52127751 -1.22071133 87.162781 -69.941607
    Oben rechts KachelX + 1 97272 KachelY 101676 1.52132545 -1.22071133 87.165528 -69.941607
    Unten links KachelX 97271 KachelY + 1 101677 1.52127751 -1.22072777 87.162781 -69.942549
    Unten rechts KachelX + 1 97272 KachelY + 1 101677 1.52132545 -1.22072777 87.165528 -69.942549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22071133--1.22072777) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22071133--1.22072777) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52127751-1.52132545) × cos(-1.22071133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342977649886536 × 6371000     		do = 104.754202519987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52127751-1.52132545) × cos(-1.22072777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342962207031991 × 6371000     		du = 104.74948587471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22071133)-sin(-1.22072777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342977649886536-0.342962207031991)×R²
    abs(1.52132545-1.52127751)×1.54428545443008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54428545443008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54428545443008e-05×40589641000000     		ar = 10971.6285502096m²