Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97271 / 101335
↖ ↑ ↗
← S 69.617903°
E 87.162781°		 ← 106.37 m → S 69.617903°
E 87.165528°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
S 69.618860°
E 87.162781°		 ← 106.37 m →
11 317 m²		 S 69.618860°
E 87.165528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742122650146484 y=0.773128509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742122650146484 × 217)
    floor (0.742122650146484 × 131072)
    floor (97271.5)     		tx = 97271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773128509521484 × 217)
    floor (0.773128509521484 × 131072)
    floor (101335.5)     		ty = 101335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97271 / 101335 ti = "17/97271/101335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97271/101335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97271 ÷ 217
    97271 ÷ 131072     		x = 0.742118835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101335 ÷ 217
    101335 ÷ 131072     		y = 0.773124694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742118835449219 × 2 - 1) × π
    0.484237670898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.52127751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773124694824219 × 2 - 1) × π
    -0.546249389648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.71609306949839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52127751} λ = 1.52127751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71609306949839))-π/2
    2×atan(0.179767115330433)-π/2
    2×0.177867353068494-π/2
    0.355734706136987-1.57079632675     		φ = -1.21506162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52127751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.162781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21506162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.617903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97271 KachelY 101335 1.52127751 -1.21506162 87.162781 -69.617903
    Oben rechts KachelX + 1 97272 KachelY 101335 1.52132545 -1.21506162 87.165528 -69.617903
    Unten links KachelX 97271 KachelY + 1 101336 1.52127751 -1.21507832 87.162781 -69.618860
    Unten rechts KachelX + 1 97272 KachelY + 1 101336 1.52132545 -1.21507832 87.165528 -69.618860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21506162--1.21507832) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21506162--1.21507832) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52127751-1.52132545) × cos(-1.21506162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348279166606748 × 6371000     		do = 106.37342218738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52127751-1.52132545) × cos(-1.21507832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348263512130842 × 6371000     		du = 106.368640907492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21506162)-sin(-1.21507832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348279166606748-0.348263512130842)×R²
    abs(1.52132545-1.52127751)×1.56544759065125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56544759065125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56544759065125e-05×40589641000000     		ar = 11317.4203615461m²