Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97270 / 101602
↖ ↑ ↗
← S 69.871782°
E 87.160034°		 ← 105.10 m → S 69.871782°
E 87.162781°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.872727°
E 87.160034°		 ← 105.10 m →
11 048 m²		 S 69.872727°
E 87.162781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742115020751953 y=0.775165557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742115020751953 × 217)
    floor (0.742115020751953 × 131072)
    floor (97270.5)     		tx = 97270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775165557861328 × 217)
    floor (0.775165557861328 × 131072)
    floor (101602.5)     		ty = 101602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97270 / 101602 ti = "17/97270/101602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97270/101602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97270 ÷ 217
    97270 ÷ 131072     		x = 0.742111206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101602 ÷ 217
    101602 ÷ 131072     		y = 0.775161743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742111206054688 × 2 - 1) × π
    0.484222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52122957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775161743164062 × 2 - 1) × π
    -0.550323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72889222169695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52122957} λ = 1.52122957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72889222169695))-π/2
    2×atan(0.177480910612191)-π/2
    2×0.175651838592726-π/2
    0.351303677185453-1.57079632675     		φ = -1.21949265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52122957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.160034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21949265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.871782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97270 KachelY 101602 1.52122957 -1.21949265 87.160034 -69.871782
    Oben rechts KachelX + 1 97271 KachelY 101602 1.52127751 -1.21949265 87.162781 -69.871782
    Unten links KachelX 97270 KachelY + 1 101603 1.52122957 -1.21950915 87.160034 -69.872727
    Unten rechts KachelX + 1 97271 KachelY + 1 101603 1.52127751 -1.21950915 87.162781 -69.872727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21949265--1.21950915) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dl = 105.121499999133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21949265--1.21950915) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dr = 105.121499999133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52122957-1.52127751) × cos(-1.21949265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344122154126138 × 6371000     		do = 105.103763574301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52122957-1.52127751) × cos(-1.21950915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344106661818663 × 6371000     		du = 105.099031824826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21949265)-sin(-1.21950915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344122154126138-0.344106661818663)×R²
    abs(1.52127751-1.52122957)×1.54923074748847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54923074748847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54923074748847e-05×40589641000000     		ar = 11048.4165784752m²