Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9727 / 15866
↖ ↑ ↗
← N 67.621772°
W126.567993°		 ← 232.56 m → N 67.621772°
W126.562500°		 →
↑
232.54 m
↓
↑
232.54 m
↓
N 67.619681°
W126.567993°		 ← 232.58 m →
54 083 m²		 N 67.619681°
W126.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148429870605469 y=0.242103576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148429870605469 × 216)
    floor (0.148429870605469 × 65536)
    floor (9727.5)     		tx = 9727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242103576660156 × 216)
    floor (0.242103576660156 × 65536)
    floor (15866.5)     		ty = 15866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9727 / 15866 ti = "16/9727/15866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9727/15866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9727 ÷ 216
    9727 ÷ 65536     		x = 0.148422241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15866 ÷ 216
    15866 ÷ 65536     		y = 0.242095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.148422241210938 × 2 - 1) × π
    -0.703155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.20902821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242095947265625 × 2 - 1) × π
    0.51580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62045895475638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20902821} λ = -2.20902821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62045895475638))-π/2
    2×atan(5.05540998867062)-π/2
    2×1.37550944758697-π/2
    2.75101889517393-1.57079632675     		φ = 1.18022257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20902821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.567993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18022257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.621772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9727 KachelY 15866 -2.20902821 1.18022257 -126.567993 67.621772
    Oben rechts KachelX + 1 9728 KachelY 15866 -2.20893233 1.18022257 -126.562500 67.621772
    Unten links KachelX 9727 KachelY + 1 15867 -2.20902821 1.18018607 -126.567993 67.619681
    Unten rechts KachelX + 1 9728 KachelY + 1 15867 -2.20893233 1.18018607 -126.562500 67.619681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18022257-1.18018607) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dl = 232.541499999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18022257-1.18018607) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dr = 232.541499999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20902821--2.20893233) × cos(1.18022257) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380719025373386 × 6371000     		do = 232.562780113338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20902821--2.20893233) × cos(1.18018607) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.380752776332948 × 6371000     		du = 232.583396936938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18022257)-sin(1.18018607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380719025373386-0.380752776332948)×R²
    abs(-2.20893233--2.20902821)×3.375095956204e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.375095956204e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.375095956204e-05×40589641000000     		ar = 54082.8948712096m²