Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97269 / 101415
↖ ↑ ↗
← S 69.694292°
E 87.157288°		 ← 105.97 m → S 69.694292°
E 87.160034°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
S 69.695245°
E 87.157288°		 ← 105.96 m →
11 227 m²		 S 69.695245°
E 87.160034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742107391357422 y=0.773738861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742107391357422 × 217)
    floor (0.742107391357422 × 131072)
    floor (97269.5)     		tx = 97269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773738861083984 × 217)
    floor (0.773738861083984 × 131072)
    floor (101415.5)     		ty = 101415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97269 / 101415 ti = "17/97269/101415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97269/101415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97269 ÷ 217
    97269 ÷ 131072     		x = 0.742103576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101415 ÷ 217
    101415 ÷ 131072     		y = 0.773735046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742103576660156 × 2 - 1) × π
    0.484207153320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.52118164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773735046386719 × 2 - 1) × π
    -0.547470092773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.71992802146799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52118164} λ = 1.52118164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71992802146799))-π/2
    2×atan(0.179079037293826)-π/2
    2×0.177200735242795-π/2
    0.354401470485591-1.57079632675     		φ = -1.21639486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52118164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.157288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21639486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.694292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97269 KachelY 101415 1.52118164 -1.21639486 87.157288 -69.694292
    Oben rechts KachelX + 1 97270 KachelY 101415 1.52122957 -1.21639486 87.160034 -69.694292
    Unten links KachelX 97269 KachelY + 1 101416 1.52118164 -1.21641149 87.157288 -69.695245
    Unten rechts KachelX + 1 97270 KachelY + 1 101416 1.52122957 -1.21641149 87.160034 -69.695245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21639486--1.21641149) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21639486--1.21641149) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52118164-1.52122957) × cos(-1.21639486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.347029090450354 × 6371000     		do = 105.969507529039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52118164-1.52122957) × cos(-1.21641149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.347013493884274 × 6371000     		du = 105.964744929959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21639486)-sin(-1.21641149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347029090450354-0.347013493884274)×R²
    abs(1.52122957-1.52118164)×1.55965660796897e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55965660796897e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55965660796897e-05×40589641000000     		ar = 11227.1884130516m²