Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97268 / 101412
↖ ↑ ↗
← S 69.691432°
E 87.154541°		 ← 106.01 m → S 69.691432°
E 87.157288°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
S 69.692385°
E 87.154541°		 ← 106 m →
11 231 m²		 S 69.692385°
E 87.157288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742099761962891 y=0.773715972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742099761962891 × 217)
    floor (0.742099761962891 × 131072)
    floor (97268.5)     		tx = 97268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773715972900391 × 217)
    floor (0.773715972900391 × 131072)
    floor (101412.5)     		ty = 101412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97268 / 101412 ti = "17/97268/101412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97268/101412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97268 ÷ 217
    97268 ÷ 131072     		x = 0.742095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101412 ÷ 217
    101412 ÷ 131072     		y = 0.773712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742095947265625 × 2 - 1) × π
    0.48419189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52113370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.54742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71978421076913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52113370} λ = 1.52113370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71978421076913))-π/2
    2×atan(0.179104792627232)-π/2
    2×0.177225690173887-π/2
    0.354451380347773-1.57079632675     		φ = -1.21634495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52113370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.154541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21634495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.691432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97268 KachelY 101412 1.52113370 -1.21634495 87.154541 -69.691432
    Oben rechts KachelX + 1 97269 KachelY 101412 1.52118164 -1.21634495 87.157288 -69.691432
    Unten links KachelX 97268 KachelY + 1 101413 1.52113370 -1.21636158 87.154541 -69.692385
    Unten rechts KachelX + 1 97269 KachelY + 1 101413 1.52118164 -1.21636158 87.157288 -69.692385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21634495--1.21636158) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21634495--1.21636158) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52113370-1.52118164) × cos(-1.21634495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347075898329477 × 6371000     		do = 106.005913083376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52113370-1.52118164) × cos(-1.21636158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347060302051446 × 6371000     		du = 106.001149578617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21634495)-sin(-1.21636158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347075898329477-0.347060302051446)×R²
    abs(1.52118164-1.52113370)×1.55962780313823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55962780313823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55962780313823e-05×40589641000000     		ar = 11231.0455239744m²