Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97267 / 101346
↖ ↑ ↗
← S 69.628422°
E 87.151794°		 ← 106.32 m → S 69.628422°
E 87.154541°		 →
↑
106.33 m
↓
↑
106.33 m
↓
S 69.629378°
E 87.151794°		 ← 106.32 m →
11 305 m²		 S 69.629378°
E 87.154541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742092132568359 y=0.773212432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742092132568359 × 217)
    floor (0.742092132568359 × 131072)
    floor (97267.5)     		tx = 97267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773212432861328 × 217)
    floor (0.773212432861328 × 131072)
    floor (101346.5)     		ty = 101346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97267 / 101346 ti = "17/97267/101346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97267/101346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97267 ÷ 217
    97267 ÷ 131072     		x = 0.742088317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101346 ÷ 217
    101346 ÷ 131072     		y = 0.773208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742088317871094 × 2 - 1) × π
    0.484176635742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.52108576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773208618164062 × 2 - 1) × π
    -0.546417236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71662037539421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52108576} λ = 1.52108576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71662037539421))-π/2
    2×atan(0.179672348058511)-π/2
    2×0.177775550930588-π/2
    0.355551101861177-1.57079632675     		φ = -1.21524522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52108576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.151794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21524522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.628422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97267 KachelY 101346 1.52108576 -1.21524522 87.151794 -69.628422
    Oben rechts KachelX + 1 97268 KachelY 101346 1.52113370 -1.21524522 87.154541 -69.628422
    Unten links KachelX 97267 KachelY + 1 101347 1.52108576 -1.21526191 87.151794 -69.629378
    Unten rechts KachelX + 1 97268 KachelY + 1 101347 1.52113370 -1.21526191 87.154541 -69.629378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21524522--1.21526191) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dl = 106.331990000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21524522--1.21526191) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dr = 106.331990000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52108576-1.52113370) × cos(-1.21524522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348107055775981 × 6371000     		do = 106.32085510953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52108576-1.52113370) × cos(-1.21526191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348091409607102 × 6371000     		du = 106.316076366823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21524522)-sin(-1.21526191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348107055775981-0.348091409607102)×R²
    abs(1.52113370-1.52108576)×1.56461688785026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56461688785026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56461688785026e-05×40589641000000     		ar = 11305.0540358162m²