Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97258 / 101476
↖ ↑ ↗
← S 69.752354°
E 87.127075°		 ← 105.70 m → S 69.752354°
E 87.129822°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
S 69.753304°
E 87.127075°		 ← 105.70 m →
11 172 m²		 S 69.753304°
E 87.129822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742023468017578 y=0.774204254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742023468017578 × 217)
    floor (0.742023468017578 × 131072)
    floor (97258.5)     		tx = 97258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774204254150391 × 217)
    floor (0.774204254150391 × 131072)
    floor (101476.5)     		ty = 101476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97258 / 101476 ti = "17/97258/101476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97258/101476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97258 ÷ 217
    97258 ÷ 131072     		x = 0.742019653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101476 ÷ 217
    101476 ÷ 131072     		y = 0.774200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.742019653320312 × 2 - 1) × π
    0.484039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52065433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.54840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72285217234482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52065433} λ = 1.52065433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72285217234482))-π/2
    2×atan(0.178556148046016)-π/2
    2×0.176694047709589-π/2
    0.353388095419178-1.57079632675     		φ = -1.21740823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52065433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.127075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21740823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.752354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97258 KachelY 101476 1.52065433 -1.21740823 87.127075 -69.752354
    Oben rechts KachelX + 1 97259 KachelY 101476 1.52070227 -1.21740823 87.129822 -69.752354
    Unten links KachelX 97258 KachelY + 1 101477 1.52065433 -1.21742482 87.127075 -69.753304
    Unten rechts KachelX + 1 97259 KachelY + 1 101477 1.52070227 -1.21742482 87.129822 -69.753304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21740823--1.21742482) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21740823--1.21742482) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52065433-1.52070227) × cos(-1.21740823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346078518949598 × 6371000     		do = 105.701287748216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52065433-1.52070227) × cos(-1.21742482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346062954071857 × 6371000     		du = 105.696533833914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21740823)-sin(-1.21742482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346078518949598-0.346062954071857)×R²
    abs(1.52070227-1.52065433)×1.55648777403483e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55648777403483e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55648777403483e-05×40589641000000     		ar = 11171.8347494005m²